第十二节 五次方程
伽罗瓦工作背后的主要动机是解五次方程。稍早些时候，阿贝尔已经证明具有变量系数 \(a_i\) 的五次方程
【16.12.1】
不能用根式求解，但不知道不能求解整系数方程。无论如何，这个问题已有 \(200\) 年的历史，它一直令人感兴趣，同时，伽罗瓦的思想实际上比激发出这些思想的问题要重要得多，令人惊讶的是，伽罗瓦能够在发展群理论之前做了他所做的。
【16.12.2】命题 令 \(F\) 是复数域的子域，关于复数 \(\alpha\) 的下列两个条件是等价的，且 \(\alpha\) 称为在 \(F\) 上是可解的，如果它满足这两个条件之一：
（a）存在 \(\mathbb C\) 的子域链
使得 \(\alpha\) 属于 \(K\)，且对于 \(j=1,\ldots,r\)，
其中 \(\beta_j\) 的某个幂属于 \(F_{j-1}\)。
（b）存在 \(\mathbb C\) 的子域链
使得 \(\alpha\) 属于 \(K\)，且对于 \(j=1,\ldots,s\)，\(F_j\) 是 \(F_{j-1}\) 的素数次伽罗瓦扩张。
命题的证明是不困难的，但它没有多少内在的意思，所以，我们把它推迟到了本节末尾。为了能够使用伽罗瓦理论，我们需要条件（b），它是非常重要的可解性刻画，且通过接受它作为定义可避免命题的技巧性。
条件（a）意味着 \(F_j\) 是由对某个整数 \(n\)（依赖于 \(j\)）的 \(n\) 次根在 \(F_{j-1}\) 上生成的。这类似于由尺规作出的实数的描述。在那个描述里，仅允许正实数的平方根。理论上，用一系列嵌套根拆解扩张可以写出可解元素 \(\alpha\)。但就像三次方程的卡尔达诺公式一样，在涉及根式的公式里有大量模棱两可的情形，因为 \(n\) 次根有 \(n\) 个选择，在复杂的根式表示式里具体写出一个根是没有用的。的确，卡尔达诺公式是无用的。
【16.12.3】命题 如果 \(\alpha\) 是系数在域 \(F\) 里次数至多 \(4\) 的多项式的根，则 \(\alpha\) 在 \(F\) 上是可解的。
证明 对于二次多项式，二次公式证明了这个结论。对于三次多项式，卡尔达诺公式给出了解答。如果 \(f(x)\) 是四次的，我们从添加 \(D\) 的平方根 \(\delta\) 开始。这样，我们用卡尔达诺公式求解三次预解式 \(g(x)\) 的根，并且添加它；在这一点上，表 16.9.9 表明 \(f\) 在我们所得的域上的伽罗瓦群是克莱因四元群的子群，所以，\(f\) 可由至多两个平方根扩张解出。
【16.12.4】定理 令 \(f\) 是复数域的子域 \(F\) 上的 \(5\) 次既约多项式，其伽罗瓦群 \(G\) 或是交错群 \(A_5\)，或是对称群 \(S_5\)，则 \(f\) 的根在 \(F\) 上是不可解的。
证明 如果 \(G=S_5\)，我们用二次扩域 \(F(\delta)\) 替换 \(F\)，其中 \(\delta\) 是判别式的平方根。如果在 \(F\) 上能够求解，则在较大域 \(F(\delta)\) 上也能求解。所以，可假设 \(G\) 是交错群 \(A_5\)，它是一个单群（7.5.4）。
策略如下：考虑素数次数 \(p\) 的伽罗瓦扩张 \(F'/F\)，带有伽罗瓦群，该群是 \(p\) 阶循环群。我们证明当用 \(F'\) 替换 \(F\) 时，对于求解方程 \(f=0\) 没有进展，我们通过证明 \(f\) 在 \(F'\) 上的伽罗瓦群仍是交错群 \(A_5\) 来求解。因为 \(A_5\) 含有 \(5\) 阶元素，故它不可能是 \(5\) 次可约多项式的伽罗瓦群。所以，\(f\) 在 \(F'\) 上仍是既约的。因此，没有（16.12.2）（b）类型的链，且 \(f\) 的根是不可解的。
我们选取这样的扩域 \(F'\)，于是，我们有两个伽罗瓦扩张。首先，\(K/F\) 是 \(5\) 次多项式 \(f\) 在 \(F\) 上的分裂域。它的伽罗瓦群是 \(G=A_5\)。其次，\(F'/F\) 有 \(p\) 阶循环伽罗瓦群 \(G'\)。因为它是伽罗瓦扩张，故它是某个既约多项式 \(g\) 在 \(F\) 上的分裂域。
令 \(K'\) 是多项式积 \(fg\) 在 \(F\) 上的分裂域。它分别由 \(f\) 与 \(g\) 的复根
与
所生成。诸根 \(\alpha_i\) 生成 \(f\) 的分裂域 \(K\)，而诸根 \(\beta_i\) 生成 \(g\) 的分裂域 \(F'\)。四个域间的包含关系在下面的图里显示出来。每个扩域都是伽罗瓦扩张，且伽罗瓦群在图里也标了出来。
因为 \(K\) 是 \(F\) 的伽罗瓦扩张，故 \(G\) 同构于商群 \(\mathcal G/H'\)；因为 \(F'\) 是 \(F\) 的伽罗瓦扩张，故 \(G'\) 同构于商群 \(\mathcal G/H\)（16.7.5）。我们要证明 \(H\) 同构于 \(G\)，亦即 \(H\) 是交错群 \(A_5\)。
群 \(H'\) 由 \(K'\) 的固定诸根 \(\alpha_i\) 不动的 \(F\)-自同构组成，且 \(H\) 由固定诸根 \(\beta_i\) 不动的 \(F\)-自同构组成。如果 \(K'\) 的 \(F\)-自同构固定诸根 \(\alpha_i\) 与 \(\beta_i\) 不动，则因为这些根生成 \(K'\)，所以它是恒等映射。
所以，\( H\cap H' \)是平凡群。
我们限制典型映射\( G\rightarrow G/H\approx G' \)到子群\( H' \)。这个限制的核是平凡群\( H\cap H' \)，所以，限制是单射。它同构地映射\( H' \)到\( G' \)的子群。由假设，\( G' \)是阶为素数\( p \)的循环群。所以，仅存在两种可能性：或者\( H' \)是平凡群，或者\( H' \)是\( p \)阶循环群。
情形1：\( H' \)是平凡群。则从\( G \)到商群\( G/H'\approx G \)的满射是同构，且\( G \)同构于单群\( G=A_{5} \)。这使得从\( G \)到循环商群\( G/H'\approx G \)的满射的存在成为可能。所以，将这个情形排除掉。
情形2：\( H' \)是\( p \)阶循环群。则\( \vert G\vert=\vert G\vert\vert H'\vert=p\vert G\vert \)，且还有\( \vert G\vert=\vert G'\vert\vert H\vert=p\vert H\vert \)。所以，\( G \)与\( H \)有相同的阶60。我们限制典范映射\( G\rightarrow G/H'\approx G \)到子群\( H \)。这个限制的核是平凡群\( H\cap H' \)，所以，限制是单射。它同构地映射\( H \)到\( G \)的子群。因为两个群的阶均为60，故限制是同构，且\( H\approx G=A_{5} \)。
我们现在展示\( \mathbb{Q} \)上5次既约多项式，其伽罗瓦群是\( S_{5} \)。5为素整数和伽罗瓦群\( G \)可迁地作用在诸根\( \alpha_{1} \)，\( \cdots \)，\( \alpha_{5} \)上的事实限制了可能的伽罗瓦群。因为作用是可迁的，故\( \vert G\vert \)为5所整除。因此，\( G \)含有5阶元素。\( S_{5} \)中唯一的5阶元素是5-循环。我们把下一个引理留作练习。
【16.12.5】引理 如果\( S_{5} \)的子群\( G \)含有5-循环与对换，则\( G=S_{5} \)。
【16.12.6】推论 令\( f(x) \)是\( \mathbb{Q} \)上5次既约多项式。如果\( f \)恰有3个实根，则它的伽罗瓦群\( G \)是对称群，从而它的根是不可解的。
证明 令诸根为\( \alpha_{1} \)，\( \cdots \)，\( \alpha_{5} \)，其中\( \alpha_{1} \)，\( \alpha_{2} \)，\( \alpha_{3} \)是实根，\( \alpha_{4} \)，\( \alpha_{5} \)是虚根，且设\( K \)是\( f \)的分裂域。固定前3个根不动的根的唯一置换是恒等与对换(4 5)。因为\( F(\alpha_{1} \)，\( \alpha_{2} \)，\( \alpha_{3})\neq K \)，故对换一定属于\( G \)。因为\( G \)可迁地作用在诸根上，故它含有一个5阶元素，即5-循环。所以，\( G=S_{5} \)。
【16.12.7】例 多项式\( x^{5}-16x=x(x^{2}-4)(x^{2}+4) \)有3个实根。当然，它是既约的，但我们可添加一个小的常数而不改变实根的个数。这可通过观察多项式的图形看到。例如，\( x^{5}-16x+2 \)也有3个实根，且它在\( \mathbb{Q} \)上是既约的。它的根在\( \mathbb{Q} \)上是不可解的。
我们现在证明命题16.12.2。
【16.12.8】引理 令\( K/F \)是伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群\( G \)是阿贝尔的，则存在中间域链\( F= F_{0}\subset F_{1}\subset\cdots F_{m}=K \)使得\( F_{i}/F_{i-1} \)对每个\( i \)是素数次的伽罗瓦扩张。
证明 阿贝尔群\( G \)含有素数阶子群\( H \)。这个子群对应于一个中间域\( L \)，且\( K \)是\( L \)的带有群\( H \)的伽罗瓦扩张。因为\( G \)是阿贝尔的，故\( H \)是正规子群，所以，\( L \)是\( F \)的带有阿贝尔伽罗瓦群\( \widetilde{G}=G/H \)的伽罗瓦扩张。因为\( \widetilde{G} \)的阶比\( G \)的小，故归纳法完成证明。
命题16.12.2的证明
(a)\( \Rightarrow \) (b) 从域链(a)开始，我们添加更多的扩张和域到这个链以得到具有性质(b)的链。首先，因为\( \sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[n]{a}} \)，故我们以添加中间域的代价假设出现在链里的根是\( p \)次根，其中\( p \)为不同素数。注意出现的素数\( p_{1} \)，\( \cdots \)，\( p_{k} \)，我们把这个链先暂时放在一旁。
回到域\( F \)，首先，一个接着一个地添加\( p_{v} \)次单位根，\( v=1 \)，\( \cdots \)，\( k \)。每个这样的扩张是伽罗瓦扩张，带有循环伽罗瓦群(命题16.10.2(b))。引理16.12.8表明它们均含有链，其层是素数次的伽罗瓦扩张。
令 \(F'\) 是我们得到的域。继续添加根到 \(F'\)。由库默尔理论，每添加一个这样的根将得到一个带有素数阶循环伽罗瓦群的伽罗瓦扩张，除非它是平凡扩张。我们得到的在新链末端的域 \(K'\) 包含有开始时所给的链中最后一个域 \(K\)，所以，\(\alpha\) 将是 \(K'\) 的元素。因此，这个新链是形如（b）的链。
（b）\(\Rightarrow\)（a） 假设给定（b）链，考虑这个链里的一个扩张，比如说，\(F_{i-1}\subset F_i\)。它是素数次 \(p\) 的伽罗瓦扩张。定理 16.11.1 表明倘若 \(p\) 次单位根属于 \(F_{i-1}\)，那么这个扩张由添加一个 \(p\) 次根得到。所以，从添加所需要的 \(p\) 次单位根到 \(F\) 开始，我们扩大链。扩大的链满足条件（a）。