第五节 固定域

令 \(H\) 是域 \(K\) 的自同构群，\(H\) 的固定域（常记为 \(K^H\)）是 \(K\) 的由每个群元素固定不动的元素集合：

【16.5.1】

\[K^H=\{a\in K\mid \sigma(a)=a,\ \text{对于所有 }\sigma\in H\}.\]

容易证明 \(K^H\) 是 \(K\) 的子域，且 \(H\) 是伽罗瓦群 \(G(K/K^H)\) 的子群。事实上，下面的固定域定理表明 \(H\) 等于 \(G(K/K^H)\)。

【16.5.2】定理 令 \(H\) 是域 \(K\) 的有限自同构群，且设 \(F\) 表示固定域 \(K^H\)。令 \(\beta_1\) 是 \(K\) 的元素，且 \(\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}\) 是 \(\beta_1\) 的 \(H\)-轨道。

（a）\(\beta_1\) 在 \(F\) 上的既约多项式是

\[g(x)=(x-\beta_1)\cdots(x-\beta_r).\]

（b）\(\beta_1\) 在 \(F\) 上是代数的，且它在 \(F\) 上的次数等于它的轨道的阶。所以，\(\beta_1\) 在 \(F\) 上次数整除 \(H\) 的阶。

证明 定理（b）部分的结论可由（a）部分的结论证得。我们证明（a）。比如说 \(g\) 的系数是轨道 \(\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}\) 的对称函数（16.1.5）。因为 \(H\) 的元素置换轨道，故它们固定系数不动。所以，\(g\) 的系数属于固定域。

令 \(h\) 是系数属于 \(F\) 的多项式，并以 \(\beta_1\) 为其一个根。对 \(i=1,\cdots,r\)，存在 \(H\) 的一个元素 \(\sigma\) 使得 \(\sigma(\beta_1)=\beta_i\)。因为 \(H\) 的元素是 \(K\) 的 \(F\)-自同构，且又因为 \(h\) 的系数属于 \(F\)，所以，\(\beta_i\) 也是 \(h\) 的根（16.4.2）（a）。于是，\(x-\beta_i\) 整除 \(h\)。因为这对每个 \(i\) 都是成立的，故在 \(K[x]\) 与 \(F[x]\) 里，\(g\) 整除 \(h\)（15.6.4）（b）。这表明 \(g\) 生成了 \(F[x]\) 中以 \(\beta_1\) 为根的多项式的主理想，且 \(g\) 是 \(\beta_1\) 在 \(F\) 上的既约多项式（15.2.3）。

扩域 \(K/F\) 称为代数的，如果 \(K\) 的每个元素在 \(F\) 上是代数的。

【16.5.3】引理 令 \(K\) 是域 \(F\) 的代数扩张，且不是 \(F\) 的有限扩张，则在 \(K\) 里存在其在 \(F\) 上的次数是任意大的元素。

证明 构造中间域链

\[F<F_1<F_2<\cdots\]

如下：在 \(K\) 中选取不属于 \(F\) 的元素 \(\alpha_1\)，并令 \(F_1=F(\alpha_1)\)。这样，\(\alpha_1\) 在 \(F\) 上是代数的，所以，\([F_1:F]<\infty\)，从而 \(F_1<K\)。其次，在 \(K\) 中选取不属于 \(F_1\) 的元素 \(\alpha_2\)，并令 \(F_2=F(\alpha_1,\alpha_2)\)。于是，\([F_2:F]<\infty\) 且 \(F_1<F_2<K\)。在 \(K\) 中选取不属于 \(F_2\) 的 \(\alpha_3\)，等等。这个域链是 \(F\) 的有限扩张的严格递增链，次数 \([F_i:F]\) 变得任意大，但仍是有限的。每个扩张 \(F_i/F\) 有本原元 \(\gamma_i\)，且在 \(F\) 上的次数也变得任意大。

【16.5.4】定理（固定域定理） 令 \(H\) 是域 \(K\) 的有限自同构群，且设 \(F=K^H\) 是它的固定域，则 \(K\) 是 \(F\) 的有限扩张，且它的次数 \([K:F]\) 等于群的阶 \(|H|\)。

证明 令 \(F=K^H\)，且设 \(n\) 是 \(H\) 的阶。定理 16.5.2 表明扩张 \(K/F\) 是代数的，\(K\) 的任意元素 \(\beta\) 在 \(F\) 上的次数整除 \(n\)。所以，次数 \([K:F]\) 是有限的（16.5.3）。令 \(\gamma\) 是这个扩张的本原元，\(H\) 的每个元素在 \(F\) 上是恒等元。于是，如果 \(\sigma\) 也固定 \(\gamma\)，则它将是恒等映射。\(\gamma\) 的稳定子是 \(H\) 的平凡子群 \((1)\)，且 \(\gamma\) 的轨道有阶 \(n\)。定理 16.5.2 表明 \(\gamma\) 在 \(F\) 上的次数为 \(n\)。因为 \(K=F(\gamma)\)，故次数 \([K:F]\) 也等于 \(n\)。

一个变量的有理函数域 \(\mathbb C(t)\) 的自同构提供了说明固定域定理与定理 16.5.2 的例子。

【16.5.5】例 令 \(K=\mathbb C(t)\)，且设 \(\sigma\) 与 \(\tau\) 是 \(K\) 的在 \(\mathbb C\) 上为恒等的自同构，并使得 \(\sigma(t)=it\) 与 \(\tau(t)=t^{-1}\)。这样，\(\sigma^4=1\)，\(\tau^2=1\)，\(\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau\)。所以，\(\sigma\) 与 \(\tau\) 生成了 \(8\) 阶的自同构群 \(H\)。

【16.5.6】引理 有理函数

\[u=t^4+t^{-4}\]

在 \(\mathbb C\) 上是超越的。

由此引理可得域 \(\mathbb C(u)\) 同构于一个变量的有理函数域。我们证明它是固定域 \(K^H\)。我们注意到 \(u\) 是由 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 固定不动的，因此 \(u\) 属于固定域 \(K^H\)，所以，\(\mathbb C(u)\subset K^H\)。定理 16.5.2 告诉我们 \(K^H\) 上 \(t\) 的既约多项式是其根构成它的轨道的多项式。\(t\) 的轨道是

\[\{t,it,-t,-it,t^{-1},-it^{-1},-t^{-1},it^{-1}\}.\]

其根是这个轨道元素的多项式是

\[(x^4-t^4)(x^4-t^{-4})=x^8-ux^4+1.\]

于是，\(t\) 是系数属于 \(\mathbb C(u)\) 的 \(8\) 次多项式的根，所以，次数 \([K:\mathbb C(u)]\) 至多是 \(8\)。固定域定理断言 \([K:K^H]=8\)。因为 \(\mathbb C(u)\subset K^H\)，故可得 \(\mathbb C(u)=K^H\)。

这个例子说明了一个著名定理：

【16.5.7】定理（Lüroth 定理） 令 \(F\) 是包含 \(\mathbb C\) 但不是 \(\mathbb C\) 自身的有理函数域 \(\mathbb C(t)\) 的子域，则 \(F\) 同构于有理函数域 \(\mathbb C(u)\)。