第一节 对称函数

令 \(R[u]\) 表示环 \(R\) 上 \(n\) 个变量的多项式环 \(R[u_1,\cdots,u_n]\)。指标 \((1,\cdots,n)\) 的置换 \(\sigma\) 通过置换变量作用多项式：

【16.1.1】

\[f=f(u_1,\cdots,u_n)\longmapsto f(u_{\sigma 1},\cdots,u_{\sigma n})=\sigma(f).\]

以这种方式，\(\sigma\) 定义了 \(R[u]\) 的自同构，我们也将其记为 \(\sigma\)。因为 \(\sigma\) 在常数多项式上作用是恒等的，我们称其为 \(R\)-自同构。对称群 \(S_n\) 通过 \(R\)-自同构作用在多项式环上。对称多项式是在每个置换作用下固定不变的多项式，对称多项式构成多项式环 \(R[u]\) 的子环。

多项式 \(g\) 是对称的，如果属于同一轨道的两个单项式（诸如 \(u_1u_2^2\) 与 \(u_2u_3^2\)）在 \(g\) 中有相同的系数。称一个轨道中单项式的和为轨道和。轨道和构成对称多项式空间的基。三个变量次数至多为 \(3\) 的轨道和是

\[1, \quad u_1+u_2+u_3, \quad u_1^2+u_2^2+u_3^2, \quad u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3, \quad u_1u_2u_3,\]

\[u_1^3+u_2^3+u_3^3, \quad u_1^2u_2+u_2^2u_1+u_1^2u_3+u_3^2u_1+u_2^2u_3+u_3^2u_2.\]

初等对称函数是一些特殊对称多项式。当有 \(n\) 个变量时，它们是：

\[s_1=\sum_i u_i=u_1+u_2+\cdots+u_n,\]

\[s_2=\sum_{i<j}u_i u_j=u_1u_2+u_1u_3+\cdots,\]

\[s_3=\sum_{i<j<k}u_i u_j u_k=u_1u_2u_3+\cdots,\]

\[\vdots\]

\[s_n=u_1u_2\cdots u_n.\]

选取指标使得 \(s_i\) 是多项式 \(u_1u_2\cdots u_i\) 的轨道和。三个变量的初等对称函数在上面用黑斜体表出。

初等对称函数是具有变量根 \(u_1,\cdots,u_n\) 的多项式的系数：

【16.1.2】

\[P(x)=(x-u_1)(x-u_2)\cdots(x-u_n)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-\cdots\pm s_n.\]

当 \(n=2\) 时，

\[P(x)=(x-u_1)(x-u_2)=x^2-(u_1+u_2)x+(u_1u_2).\]

当 \(n=3\) 时，

\[P(x)=x^3-(u_1+u_2+u_3)x^2+(u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3)x-(u_1u_2u_3).\]

在（16.1.2）里指标的顺序是我们从前多项式系数指标的反转，并且符号交错。因为指标和符号以这种方式出现，我们在本章以类似形式给一个多项式未定系数标号：

【16.1.3】

\[f(x)=x^n-a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}-\cdots\pm a_n.\]

同以前一样，我们说一个多项式在域 \(K\) 里完全分裂，如果它分解成线性因子之积，比如说

【16.1.4】

\[f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n),\]

其中 \(\alpha_i\in K\)。如果这样，则替换 \(u_i=\alpha_i\) 表明 \(f\) 的系数由计算对称函数得到。

【16.1.5】引理 如果（16.1.4）是多项式（16.1.3）的分解，则

\[a_i=s_i(\alpha_1,\cdots,\alpha_n).\]

【16.1.6】定理（对称函数定理） 系数属于环 \(R\) 的每个对称多项式 \(g(u_1,\cdots,u_n)\) 可以用唯一的方式写成初等对称函数 \(s_1,\cdots,s_n\) 的多项式。

更确切地：如果 \(g(u)\) 是对称多项式，存在系数属于 \(R\) 的另一组变量 \(z_1,\cdots,z_n\) 的唯一多项式 \(G(z_1,\cdots,z_n)\)，使得 \(g(u)\) 由替换 \(z_i\mapsto s_i\) 得到：

\[g(u_1,\cdots,u_n)=G(s_1,\cdots,s_n).\]

我们下面证明定理，但首先给出一些例子：

【16.1.7】例

（a）对称多项式 \(u_1^2+\cdots+u_n^2\) 是线性组合 \(c_1s_1^2+c_2s_2\)，因为它有次数 \(2\)。可用变量的特殊值来确定系数。替换 \(u=(1,0,\cdots,0)\) 表明 \(c_1=1\)，替换 \(u=(1,-1,0,\cdots,0)\) 表明 \(c_2=-2\)：

【16.1.8】

\[u_1^2+\cdots+u_n^2=s_1^2-2s_2.\]

（b）对三个变量 \(u_1,u_2,u_3\) 的对称多项式

【16.1.9】

\[g(u)=u_1u_2^2+u_2u_1^2+u_1u_3^2+u_3u_1^2+u_2u_3^2+u_3u_2^2.\]

我们使用不同的方法。第一步是置 \(u_3=0\)，得到剩余变量的对称多项式 \(g^\circ=u_1^2u_2+u_2^2u_1\)。令 \(s_1^\prime,s_2^\prime\) 表示 \(u_1,u_2\) 的初等对称函数：\(s_1^\prime=u_1+u_2\) 与 \(s_2^\prime=u_1u_2\)。我们注意到 \(g^\circ=s_1^\prime s_2^\prime\)。

第二步是将多项式 \(g\) 与三个变量对称多项式 \(s_1s_2\) 比较：

\[s_1s_2=(u_1+u_2+u_3)(u_1u_2+u_1u_3+u_2u_3).\]

我们将不具体展开右边，而我们注意到展开式有 \(9\) 项，其中之一是 \(u_1^2u_2\)。因为 \(s_1s_2\) 是对称的，故 \(u_1^2u_2\) 的轨道和 \(g\) 有 \(6\) 项。剩余 \(3\) 项等于 \(u_1u_2u_3=s_3\)：

【16.1.10】

\[g=s_1s_2-3s_3.\]

这个计算是系统方法的例子，下面给出的对称函数定理的证明就基于这个方法。

对称函数定理的证明

当 \(n=1\) 时，没有什么要证明的，因为在这个情形里 \(u_1=s_1\)。用归纳法进行证明，假设定理对于对称函数在 \(n-1\) 时成立。已给 \(u_1,\cdots,u_n\) 的对称多项式 \(g\)，我们考虑通过把最后一个变量替换为零得到的多项式 \(g^\circ\)：

\[g^\circ(u_1,\cdots,u_{n-1})=g(u_1,\cdots,u_{n-1},0).\]

这是 \(u_1,\cdots,u_{n-1}\) 的对称多项式。所以，由归纳假设，\(g^\circ\) 可写成 \(u_1,\cdots,u_{n-1}\) 的初等对称函数的多项式，这些初等对称函数标记为了 \(s_1^\prime,\cdots,s_{n-1}^\prime\)。

存在对称多项式 \(Q(z_1,\cdots,z_{n-1})\) 使得

\[g^\circ=Q(s_1^\prime,\cdots,s_{n-1}^\prime).\]

【16.1.11】引理 令 \(g\) 是变量 \(u_1,\cdots,u_n\) 的 \(d\) 次对称多项式，且设 \(g^\circ=Q(s_1^\prime,\cdots,s_{n-1}^\prime)\)，则

\[g=Q(s_1,\cdots,s_{n-1})+s_nh,\]

其中 \(h\) 是 \(u_1,\cdots,u_n\) 的 \(d-n\) 次对称多项式。

证明令

\[p(u_1,\cdots,u_n)=g(u_1,\cdots,u_n)-Q(s_1,\cdots,s_{n-1}).\]

这是对称多项式的差，从而它是对称的。如果置 \(u_n=0\)，我们得到 \(p(u_1,\cdots,u_{n-1},0)=g^\circ-Q(s^\prime)=0\)。所以，\(u_n\) 整除 \(p\)。由于 \(p\) 是对称的，每个 \(u_i\) 整除 \(p\)，所以 \(s_n\) 整除 \(p\)。写 \(p=s_nh\)，多项式 \(h\) 是对称的。这给了我们一个由引理断言的型的方程。

我们回到对称函数定理的证明。上面引理告诉我们 \(g=Q(s)+s_nh\)，其中 \(h\) 是对称的。对对称多项式的次数再使用归纳法，可得 \(h\) 是对称函数的多项式。因此，\(g\) 也是。通过仔细检查这个证明可证得 \(G\) 是唯一确定的。

我们给出系统方法的另一个例子。令 \(g\) 是单项式 \(u_1^2u_2\) 的轨道和，但这次是关于 \(4\) 个变量 \(u_1,\cdots,u_4\) 的。设 \(s_1,\cdots,s_4\) 表示 \(4\) 个变量的初等对称函数，我们置 \(u_4=0\)，得到公式（16.1.10），现在写为 \(g^\circ=s_1^\prime s_2^\prime-3s_3^\prime\)。这样，如同上面公式里的，

\[g=s_1s_2-3s_3+s_4h.\]

因为 \(g\) 有次数 \(3\)，故 \(h=0\)。当 \(g\) 是 \(u_1^2u_2\) 在变量个数 \(n>3\) 的轨道和时，公式（16.1.10）是正确的。

下面是对称函数定理的重要结果：

【16.1.12】推论 假设多项式

\[f(x)=x^n-a_1x^{n-1}+\cdots\pm a_n\]

的系数属于域 \(F\)，且设它在扩域 \(K\) 里完全分裂，并有根 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)。令 \(g(u_1,\cdots,u_n)\) 是 \(u_1,\cdots,u_n\) 且系数在 \(F\) 里的对称多项式，则 \(g(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\) 是 \(F\) 的元素。

例如，\(\alpha_1^2+\alpha_2^2+\cdots+\alpha_n^2\) 是 \(F\) 的元素。

证明 对称函数定理告诉我们 \(g\) 是初等对称函数的多项式，比如说

\[g(u_1,\cdots,u_n)=G(s_1,\cdots,s_n),\]

其中 \(G(z)\) 是系数在 \(F\) 里的多项式。当计算 \(u=\alpha\) 处的值时，我们得到 \(s_i(\alpha)=a_i\)（16.1.5）。于是，

【16.1.13】

\[g(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=G(a_1,\cdots,a_n).\]

因为 \(a_1,\cdots,a_n\) 属于 \(F\) 且 \(G\) 的系数在 \(F\) 里，故 \(G(a)\) 属于 \(F\)。

下一个命题提供了从任一个多项式开始构造对称多项式的方法。

【16.1.14】命题 令 \(p_1(u),\cdots,p_k(u)\) 是多项式，设 \(\{p_1,\cdots,p_k\}\) 是它的关于对称群在变量上作用的轨道，且设 \(w=w_1,\cdots,w_k\) 是另一个变量集，其中 \(k\) 是在 \(p_1\) 的轨道里多项式的个数。（于是，\(k\) 整除对称群的阶 \(n!\)。）如果 \(h(w_1,\cdots,w_k)\) 是 \(w\) 的对称多项式，则 \(h(p_1,\cdots,p_k)\) 是 \(u\) 的对称多项式。

证明 除了稍许混乱，这几乎是平凡的。变量 \(u_1,\cdots,u_n\) 的置换置换集合 \(\{p_1,\cdots,p_k\}\)，因为这个集合是轨道。又因为 \(h\) 是对称多项式，所以 \(p_1,\cdots,p_k\) 的置换把 \(h(p_1,\cdots,p_k)\) 变为自身。

【16.1.15】例 有三个变量 \(u_1,u_2,u_3\)，与 \(p_1=u_1^2+u_2u_3\)。\(p_1\) 的轨道由三个多项式组成：

\[p_1=u_1^2+u_2u_3,\quad p_2=u_2^2+u_1u_3,\quad p_3=u_3^2+u_1u_2.\]

我们用 \(w=p\) 替换对称多项式 \(w_1w_2+w_2w_3+w_3w_1\)，得到 \(u\) 的对称多项式：

\[p_1p_2+p_2p_3+p_3p_1 =(u_1^2u_2^2+\cdots)+(u_1^3u_3+\cdots)+(u_1u_2u_3^2+\cdots).\]