第三节 分裂域

令 \(f\) 是系数在域 \(F\) 里的多项式，不一定是既约的。\(F\) 上 \(f\) 的分裂域是扩域 \(K/F\)，使得

• \(f\) 在 \(K\) 里完全分裂，比如说

  \[f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n),\]

  其中 \(\alpha_i\in K\)，且

• \(K\) 是由根生成的：

  \[K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n).\]

第二个条件蕴含着，对 \(K\) 的每个元素 \(\beta\)，存在系数在 \(F\) 中的多项式 \(p(u_1,\cdots,u_n)\)，使得

\[p(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=\beta.\]

事实上，存在许多这样的多项式：因为根在 \(F\) 上是代数的，所以一些多项式等于零。

如果我们的域 \(F\) 是复数域 \(\mathbb C\) 的子域，分裂域 \(K\) 可简单地通过添加 \(f\) 的复数根到 \(F\) 得到，我们可把 \(K\) 说成是 \(f\) 的分裂域。但如果 \(F\) 不是 \(\mathbb C\) 的子域，我们必须抽象地构造分裂域，就像上一章解释的（第十五章第六节）。

【16.3.1】引理

（a）如果 \(F\subset L\subset K\) 是域，且 \(K\) 是多项式 \(f\) 在 \(F\) 上的分裂域，则 \(K\) 也是同一个多项式在 \(L\) 上的分裂域。

（b）\(F[x]\) 中的每个多项式 \(f(x)\) 有分裂域。

（c）分裂域是 \(F\) 的有限扩张，且每个有限扩张包含在分裂域里。

证明

（a）显然。

（b）已给系数在 \(F\) 里的多项式 \(f\)，存在 \(F\) 的域扩张 \(K'\)，\(f\) 在其中完全分裂（15.6.3）。由 \(f\) 的根生成的 \(K'\) 的子域是分裂域。

（c）分裂域是由有限多个在 \(F\) 上为代数的元素生成的，所以，它是 \(F\) 的有限扩张。反之，有限扩张 \(L/F\) 是由有限多个元素生成的，比如说 \(\gamma_1,\cdots,\gamma_k\)，每个元素在 \(F\) 上是代数的。令 \(g_i\) 是 \(\gamma_i\) 在 \(F\) 上的既约多项式，且令 \(f\) 是积 \(g_1\cdots g_k\)。我们可将域 \(L\) 扩张为 \(f\) 在 \(L\) 上的分裂域，从而 \(K\) 也是 \(F\) 上的分裂域。

我们现在用对称函数证明一个令人惊讶的事实：

【16.3.2】定理（分裂定理） 令 \(K\) 是域 \(F\) 的扩域，且它是系数在 \(F\) 里的多项式 \(f(x)\) 的分裂域。如果系数在 \(F\) 里的既约多项式 \(g(x)\) 有一个根属于 \(K\)，则它在 \(K\) 里完全分裂。

这个定理提供了分裂域的一个性质。\(F\) 上分裂域 \(K\) 是具有这个性质的有限域扩张：

\(F\) 上有一个根在 \(K\) 里的既约多项式在 \(K\) 里完全分裂。

哪个多项式用来定义 \(K\) 为分裂域是不重要的。

分裂定理的证明

令 \(f\) 与 \(g\) 如同定理所叙述的。已给 \(g\) 在 \(K\) 里的一个根 \(\beta_1\)，我们必须证明 \(g\) 在 \(K\) 里完全分裂。由于 \(g\) 是既约的，它是 \(\beta_1\) 在 \(F\) 上的既约多项式。

分裂域 \(K\) 是由 \(f\) 的根 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 在 \(F\) 上生成的。\(K\) 的每个元素可写成 \(\alpha\) 的多项式，且系数在 \(F\) 里。选取多项式 \(p(u_1,\cdots,u_n)\) 使得

\[p(\alpha)=\beta_1.\]

令 \(p_1,\cdots,p_k\) 是 \(p(u)\) 关于对称群 \(S_n\) 在多项式环 \(F[u_1,\cdots,u_n]\) 上作用的轨道，且设

\[\beta_i=p_i(\alpha).\]

所以，\(\beta_1,\cdots,\beta_k\) 是 \(K\) 的元素。我们将通过证明多项式

\[h(x)=(x-\beta_1)\cdots(x-\beta_k)\]

的系数属于 \(F\) 来证明分裂定理。假设这个结论已经证明，则因为 \(\beta_1\) 是 \(h\) 的根，故可得 \(\beta_1\) 在 \(F\) 上的既约多项式 \(g\) 整除 \(h\)。且因为 \(h\) 在 \(K\) 里完全分裂，所以 \(g\) 也完全分裂。

现在证明 \(h\) 的系数属于 \(F\)。这些系数是在 \(\beta_1,\cdots,\beta_k\) 处取值得到的初等对称函数。我们引进新的变量 \(w_1,\cdots,w_k\)，并且把这些变量的初等对称函数标记为 \(s_i'(w)\)（用斜撇提醒我们变量是新的）。这样，\(h\) 的系数由 \(s_i'(\beta)\) 给出。

因为 \(p_1,\cdots,p_k\) 是一个轨道，所以 \(s_i'(p)\) 是 \(u\) 的对称多项式（16.1.14）。其次，做替换 \(u=\alpha\)。因为 \(s_i'(p(u))\) 关于 \(u\) 是对称的，所以 \(s_i'(p(\alpha))\) 属于域 \(F\)（16.1.12）。另一方面，

\[s_i'(p(\alpha))=s_i'(\beta) = b_j.\]

因此 \(b_j\) 的系数属于 \(F\)。