第六节 伽罗瓦扩张

我们现在来到了本章的主题：伽罗瓦理论。

注 如果 \(K\) 是 \(F\) 的扩域，则中间域 \(L\) 是一个使得 \(F\subset L\subset K\) 的域。一个中间域是真的，如果它既不是 \(F\) 也不是 \(K\)。

如果 \(L\) 是中间域，则 \(K\) 的每个 \(L\)-自同构将是 \(F\)-自同构，所以，

【16.6.1】

\[G(K/L)\subset G(K/F).\]

【16.6.2】引理

（a）有限扩张 \(K/F\) 的伽罗瓦群 \(G\) 是其阶整除扩张次数 \([K:F]\) 的有限群。

（b）令 \(H\) 是域 \(K\) 的有限自同构群，则 \(K\) 是它的固定域 \(K^H\) 的伽罗瓦扩张，且 \(H\) 是 \(K/K^H\) 的伽罗瓦群。

证明

（a）由 \(F\)-自同构的定义，\(G\) 的元素平凡作用在 \(F\) 上，于是，\(F\) 包含在固定域 \(K^G\) 里。这样，

\[F\subset K^G\subset K.\]

于是，\([K:K^G]\) 整除 \([K:F]\)。由固定域定理，\(|G|=[K:K^G]\)。

（b）由 \(K^H\) 的定义，\(H\) 的元素是 \(K^H\)-自同构。所以，\(H\) 是伽罗瓦群 \(G(K/K^H)\) 的子群。因为

\[|G(K/K^H)|\mid [K:K^H],\qquad |H|=[K:K^H],\]

故这两个群是相等的，且 \(K\) 是 \(K^H\) 的伽罗瓦扩张。

【16.6.3】引理 令 \(\gamma\) 是域 \(F\) 的有限扩域 \(K\) 的本原元，且设 \(f(x)\) 是 \(\gamma\) 在 \(F\) 上的既约多项式。令 \(\gamma_1,\cdots,\gamma_r\) 是 \(f\) 的属于 \(K\) 的根，则存在 \(K\) 的唯一 \(F\)-自同构 \(\sigma_i\)，使得 \(\sigma_i(\gamma)=\gamma_i\)。这些是 \(K\) 的所有 \(F\)-自同构，所以，\(G(K/F)\) 的阶为 \(r\)。

证明 存在唯一 \(F\)-同构

\[\sigma_i:F(\gamma)\to F(\gamma_i)\]

映 \(\gamma\mapsto\gamma_i\)（16.4.2）（c）。给定 \(K=F(\gamma)\)，且因为 \(F(\gamma_i)\) 在 \(F\) 上有同一次数，故也有 \(K=F(\gamma_i)\)。所以，\(\sigma_i\) 是 \(K\) 的 \(F\)-自同构。\(K\) 的每个 \(F\)-自同构映 \(\gamma\) 到 \(f\) 的一个根。于是，它是诸自同构 \(\sigma_i\) 之一。

【16.6.4】定理（伽罗瓦扩张的特征性质） 令 \(K/F\) 是有限扩张，且设 \(G\) 是它的伽罗瓦群。下列论述是等价的：

（a）\(K/F\) 是伽罗瓦扩张，亦即 \(|G|=[K:F]\)。

（b）固定域 \(K^G\) 等于 \(F\)。

（c）\(K\) 是 \(F\) 上的分裂域。

定理的（b）部分可用来证明伽罗瓦扩张 \(K\) 的元素实际上属于 \(F\)，（c）可用来证明扩张是伽罗瓦的。

定理的证明

（a）\(\Longleftrightarrow\)（b）：由固定域定理，\(|G|=[K:K^G]\)。因为 \(F\subset K^G\subset K\)，故 \(|G|=[K:F]\) 当且仅当 \(F=K^G\)。

（a）\(\Longleftrightarrow\)（c）：令 \(n=[K:F]\)。选取 \(K\) 在 \(F\) 上的一个本原元 \(\gamma_1\)。设 \(f\) 是 \(F\) 上的既约多项式。因为 \(\gamma_1\) 是本原元，故 \(f\) 的次数是 \(n\)。令 \(\gamma_1,\cdots,\gamma_r\) 是 \(f\) 的属于 \(K\) 的根。引理 16.6.3 告诉我们 \(|G|=r\)。于是，\(|G|=[K:F]\)，即扩张是伽罗瓦的，当且仅当 \(f\) 在 \(K\) 里完全分裂。因为 \(K\) 是 \(\gamma_1\) 在 \(F\) 上生成的，故它也是由 \(f\) 的所有根的集合生成的。所以，\(K\) 是 \(F\) 上的分裂域当且仅当 \(f\) 在 \(K\) 里完全分裂。

如果 \(K\) 是多项式 \(f\) 在 \(F\) 上的分裂域，我们也可将扩张 \(K/F\) 的伽罗瓦群说成是 \(f\) 的伽罗瓦群。

【16.6.5】推论

（a）每个有限扩张 \(K/F\) 包含在一个伽罗瓦扩张里。

（b）如果 \(K/F\) 是伽罗瓦扩张，且如果 \(L\) 是中间域，则 \(K\) 也是 \(L\) 的伽罗瓦扩张，且伽罗瓦群 \(G(K/L)\) 是伽罗瓦群 \(G(K/F)\) 的子群。

证明 定理 16.6.4 允许我们将短语“伽罗瓦扩张”替换为“分裂域”，这样，推论由引理 16.3.1 和 16.6.2 可得到。

【16.6.6】定理 令 \(K/F\) 是带有伽罗瓦群 \(G\) 的伽罗瓦扩张，且设 \(g\) 是系数属于 \(F\) 的且在 \(K\) 中完全分裂的多项式。令它在 \(K\) 中的根为 \(\beta_1,\cdots,\beta_r\)。

（a）群 \(G\) 作用在根的集合 \(\{\beta_i\}\) 上。

（b）如果 \(K\) 是 \(g\) 在 \(F\) 上的分裂域，则在根上的作用是忠实的，且由其在根上的作用，\(G\) 嵌入对称群 \(S_r\) 作为其子群。

（c）如果 \(g\) 在 \(F\) 上是既约的，则在根上的作用是可迁的。

（d）如果 \(K\) 是 \(g\) 在 \(F\) 上的分裂域，且 \(g\) 在 \(F\) 上是既约的，则 \(G\) 嵌入 \(S_r\) 作为其可迁子群。

证明 （a）是（16.4.2）（a）而（b）是（16.4.2）（b）。如果 \(g\) 是既约的，则它是 \(\beta_1\) 在 \(F\) 上的既约多项式。因为 \(F\) 是 \(G\) 的固定域，故定理 16.5.2 告诉我们 \(g\) 的诸根 \(\beta_i\) 构成 \(\beta_1\) 的 \(G\)-轨道。所以，作用是可迁的，如同（c）所断言的。最后，（d）是条件（b）与（c）的组合。

这个定理是有用的，尽管它不足以确定伽罗瓦群。整数 \(r\) 与到 \(S_r\) 的嵌入不仅依赖于伽罗瓦扩张 \(K\)，还依赖于 \(g\)。再有，当 \(r>2\) 时，对称群 \(S_r\) 有若干个可迁子群。