第二节 判别式

除了初等对称函数外，最重要的对称多项式为带有变量根 \(u_1,\cdots,u_n\) 的多项式的判别式。判别式定义为

【16.2.1】

\[D(u)=\prod_{i<j}(u_i-u_j)^2.\]

它的主要性质是：

• \(D(u)\) 是整系数对称多项式。
• 如果 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 是域的元素，则 \(D(\alpha)=0\) 当且仅当诸元素 \(\alpha_i\) 中有两个是相等的。

对称函数定理告诉我们判别式 \(D\) 可唯一地写成初等对称函数的整多项式。令

【16.2.2】

\[\Delta(z)=\Delta(z_1,\cdots,z_n)\]

是这个多项式，所以，\(D(u)=\Delta(s)\)。当 \(n=2\) 时，

【16.2.3】

\[D=(u_1-u_2)^2=s_1^2-4s_2,\qquad \Delta(z)=z_1^2-4z_2.\]

这是熟悉的二次多项式 \(x^2-s_1x+s_2\) 的判别式，尽管 \(D\) 是根的差的平方的事实在我们上学时没有强调。

不幸的是，当 \(n\) 较大时，\(D\) 与 \(\Delta\) 是很复杂的。当 \(n>3\) 时，我不知道它们是什么。一般来说，三次多项式

【16.2.4】

\[P(x)=x^3-s_1x^2+s_2x-s_3\]

的判别式已经是太复杂以致记不住：

【16.2.5】

\[D=(u_1-u_2)^2(u_1-u_3)^2(u_2-u_3)^2\]

\[=s_1^2s_2^2-4s_2^3-4s_1^3s_3+18s_1s_2s_3-27s_3^2,\]

\[\Delta(z)=z_1^2z_2^2-4z_2^3-4z_1^3z_3+18z_1z_2z_3-27z_3^2.\]

当对变量 \(u_i\) 做替换时这些公式仍成立。如果给出环 \(R\) 中特殊元素 \(a_1,\cdots,a_n\)，且如果用 \(a_i\) 替换 \(u_i\)，有

\[D(a_1,\cdots,a_n)=\prod_{i<j}(a_i-a_j)^2=\Delta(a_1,\cdots,a_n).\]

为元素 \(\Delta(a_1,\cdots,a_n)\)。如果 \(f\) 的系数属于域 \(F\)，则 \(\Delta(z)\) 的系数在域 \(F\) 里，且 \(\Delta(a)\) 是 \(F\) 的元素。

当 \(f(x)\) 中 \(x^2\) 的系数为零时，三次多项式的判别式变得较简单。倘若特征不是 \(3\)，一般三次多项式（16.2.4）里的二次项可以通过类似完全平方法的替换消去，称为 Tschirnhausen 变换，

【16.2.6】

\[x=y+\frac{s_1}{3}.\]

如果把二次项消失的三次多项式写为

【16.2.7】

\[f(x)=x^3+px+q,\]

则判别式由（16.2.5）的替换得到：

【16.2.8】

\[\Delta(0,p,-q)=-4p^3-27q^2.\]

因为初等对称函数 \(s_i\) 的变量 \(u\) 的次数为 \(i\)，所以分派给变量 \(z_i\) 权 \(i\)，并且定义单项式 \(z_1^{e_1}\cdots z_n^{e_n}\) 的加权次数 \(e_1+2e_2+\cdots+ne_n\)，是很方便的。在 \(z\) 的加权次数为 \(d\) 的单项式里用 \(s_i\) 替换 \(z_i\) 产生 \(u_1,\cdots,u_n\) 的通常次数为 \(d\) 的多项式。例如，\(z_1z_2\) 有加权次数 \(3\)，且

\[s_1s_2=(u_1+\cdots)(u_1u_2+\cdots)\]

有次数 \(3\)。如果 \(g(u)\) 是次数为 \(d\) 的对称多项式，且 \(G(z)\) 是使得 \(g(u)=G(s)\) 的多项式，则 \(G\) 关于 \(z\) 有加权次数 \(d\)。

三次多项式（16.2.4）的判别式是 \(u\) 的次数为 \(6\) 的齐次多项式。有 \(7\) 个 \(z_1,z_2,z_3\) 的加权次数为 \(6\) 的单项式：

【16.2.9】

\[z_1^6,\ z_1^4z_2,\ z_1^2z_2^2,\ z_2^3,\ z_1^3z_3,\ z_1z_2z_3,\ z_3^2.\]

且 \(\Delta\) 为这些单项式的整线性组合。我们将用系统方法确定前 \(4\) 个单项式的系数：在

\[D=(u_1-u_2)^2(u_1-u_3)^2(u_2-u_3)^2\]

中置 \(u_3=0\)，得到 \(u_1,u_2\) 的对称多项式

\[(u_1-u_2)^2u_1^2u_2^2=(s_1^2-4s_2)s_2^2.\]

所以，

\[D=s_1^2s_2^2-4s_2^3+s_3h,\]

其中 \(h\) 是对称三次多项式。\(s_1^6\) 与 \(s_1^4s_2\) 的系数是零。我不知道确定余下的 \(\Delta\) 的三个系数的容易方法，但一个方法是给变量 \(u_1,u_2,u_3\) 分派某个特殊值。