第八节 三次方程
令 \(f(x)\) 是系数属于 \(F\) 的既约三次多项式，设它在 \(F\) 上的分裂域为 \(K\)。比如说，\(f\) 在 \(K\) 中的根是 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)。这样，在 \(K[x]\) 中，
【16.8.1】
因为 \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\) 属于 \(F\)，且 \(\alpha_1,\alpha_2\) 已知时，故第三个根 \(\alpha_3\) 属于由前两个根生成的域。所以，我们有扩张
与
令 \(L\) 表示域 \(F(\alpha_1)\)。因为 \(f\) 在 \(F\) 上是既约的，故 \([L:F]=3\)。由于 \(\alpha_1\) 属于 \(L\)，故多项式 \(f\) 在 \(L[x]\) 中分解：
【16.8.2】
其中 \(q\) 是其根为 \(\alpha_2\) 与 \(\alpha_3\) 的二次多项式。所以，\(K\) 由 \(L\) 通过添加二次多项式的根得到。有两种情形：如果 \(q\) 在 \(L\) 上是既约的，则 \([K:L]=2\) 与 \([K:F]=6\)。如果 \(q\) 在 \(L\) 上是可约的，则 \(\alpha_2\) 与 \(\alpha_3\) 属于 \(L\)，\(L=K\) 与 \([K:F]=3\)。
【16.8.3】例
（a）\(f(x)=x^3+3x+1\) 在 \(\mathbb Q\) 上是既约的，且它的导数在实直线上永不为零。所以，\(f\) 定义了实变量 \(x\) 的递增函数，且它仅取零值一次：\(f\) 有一个实根，这个根不生成分裂域 \(K\)，它含有两个复数根。于是，\([K:\mathbb Q]=6\)。
（b）\(f(x)=x^3-3x+1\) 在 \(\mathbb Q\) 上也是既约的。在这种情形下，如果 \(\alpha_1\) 是 \(f\) 的根，则
是另一个根。这可通过代入 \(f\) 中检验。所以，分裂域 \(K\) 等于 \(\mathbb Q(\alpha_1)\) 且 \([K:\mathbb Q]=3\)。
我们回到任意既约三次方程。由它在根上的作用，\(K/F\) 的伽罗瓦群 \(G\) 成为对称群 \(S_3\) 的可迁子群（16.6.6）（c）。可迁子群为 \(S_3\) 与 \(A_3\)——\(3\) 阶循环群。如果 \([K:F]=3\)，则 \(G=A_3\)，且如果 \([K:F]=6\)，则 \(G=S_3\)。为区别这两种情形，我们需要确定出现在（16.8.2）里的二次多项式 \(q(x)\) 在域 \(L=F(\alpha_1)\) 上是否为既约的。在域 \(L\) 里讨论是痛苦的，我们宁可在域 \(F\) 里做计算。
幸运的是，存在元素使得确定 \(q\) 的判别式（16.2.5）的平方根 \(\delta\) 成为可能：
【16.8.4】
它的主要性质是：
- \(\delta\) 是 \(K\) 的元素。
- \(\delta\ne0\)（因为诸根 \(\alpha_i\) 是不同的）。
- 根的置换使得 \(\delta\) 乘上一个置换的符号。
【16.8.5】定理（三次方程的伽罗瓦理论） 令 \(K\) 是既约三次多项式 \(f\) 在域 \(F\) 上的分裂域，设 \(D\) 是 \(f\) 的判别式，设 \(G\) 是 \(K/F\) 的伽罗瓦群。
- 如果 \(D\) 是 \(F\) 里的平方，则 \([K:F]=3\) 与 \(G\) 是交错群 \(A_3\)。
- 如果 \(D\) 不是 \(F\) 里的平方，则 \([K:F]=6\) 与 \(G\) 是对称群 \(S_3\)。
\(x^3+3x+1\) 的判别式是 \(-5\cdot3^3\)，不是一个平方，而 \(x^3-3x+1\) 的判别式是 \(3^2\)，是一个平方数（见 16.2.8）。这与上面例子讨论的一致。
定理 16.8.5 的证明 根的置换使 \(\delta\) 乘上一个置换的符号。如果 \(\delta\) 属于 \(F\)，则它由 \(G\) 的每个元素所固定不动。在这种情形里，奇置换不属于 \(G\)，所以，\(G=A_3\)，\([K:F]=3\)。如果 \(\delta\) 不属于 \(F\)，则它不为 \(G\) 所固定不动，所以，\(G\) 含有奇置换。在这种情形里，\(G=S_3\)，\([K:F]=6\)。
交错群 \(A_3\) 没有真子群。所以，如果 \(G=A_3\)，则不存在真中间域，这是显然的，因为 \([K:F]=3\) 是素数。对称群 \(S_3\) 有 \(4\) 个真子群。用通常的记号，它们是 \(3\) 个 \(2\) 阶群与 \(3\) 阶群 \(A_3\)。主要定理告诉我们当 \(G=S_3\) 时，存在 \(4\) 个真中间域。它们是