第十一节 库默尔扩张

本节讨论下面的定理。

【16.11.1】定理 令 \(F\) 是 \(\mathbb C\) 的含有 \(p\) 次单位根 \(\zeta=e^{2\pi i/p}\) 的子域，其中 \(p\) 为素数，且设 \(K/F\) 是 \(p\) 次伽罗瓦扩张，则 \(K\) 由添加一个 \(p\) 次根得到。换句话说，\(K\) 是由 \(F\) 上的元素 \(\beta\) 生成的，其中

\[\beta^p\in F.\]

这种类型的扩张常称为库默尔扩张。库默尔扩张的伽罗瓦群是素数阶循环群。

定理对 \(p=2\) 是熟悉的：每个 \(2\) 次扩张可由添加一个平方根得到。假设 \(p=3\)，且设 \(F\) 含有 \(3\) 次单位根。如果既约 \(3\) 次多项式的判别式（16.2.7）是 \(F\) 里的一个平方项，则它的分裂域的次数为 \(3\)（16.8.5）。定理断言分裂域有形式 \(F(\sqrt[3]{b})\)，其中某个 \(b\in F\)。这不是显然的。如果判别式不是平方项，则诸根不能由添加一个立方根得到（这是练习 11.1）。

下一个命题完善了叙述，假设 \(b\) 是 \(F\) 的非零元素，\(\beta\) 是在扩域 \(K\) 里的 \(p\) 次根。这样，它是

\[g(x)=x^p-b\]

的根。因为 \(\zeta\) 属于 \(F\)，所以 \(g\) 的所有根是

\[\beta,\zeta\beta,\zeta^2\beta,\cdots,\zeta^{p-1}\beta.\]

所以，\(\beta\) 生成 \(g\) 在 \(F\) 上的分裂域。

【16.11.2】命题 令 \(p\) 是素数，设 \(F\) 是含有 \(p\) 次单位根 \(\zeta=e^{2\pi i/p}\) 的域，且设 \(b\) 是 \(F\) 的非零元素，则多项式

\[g(x)=x^p-b\]

或者在 \(F\) 上是既约的，或者它完全分裂。

证明 令 \(K\) 是 \(g\) 在 \(F\) 上的分裂域，假设 \(g\) 的某个根 \(\beta\) 不属于 \(F\)。则次数 \([K:F]\) 将比 \(1\) 大，于是，伽罗瓦群 \(G=G(K/F)\) 将含有不同于恒等元的元素。因为 \(\beta\) 在 \(F\) 上生成 \(K\)，故 \(G\) 中不同于恒等元的元素不能固定 \(\beta\)。它必须把 \(\beta\) 送到 \(\zeta^i\beta\)，其中 \(i\not\equiv0\pmod p\)。于是它的幂将遍历所有模 \(p\) 剩余。这表明 \(G\) 可迁地作用在 \(g\) 的 \(p\) 个根上，所以，\(g\) 在 \(F\) 上是既约的。

定理 16.11.1 的证明

证明很漂亮。将 \(K\) 视为 \(F\) 上的向量空间，我们证明伽罗瓦群 \(G\) 的元素 \(\sigma\) 是 \(K\) 上的线性算子。如果 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 属于 \(K\) 且 \(c\) 属于 \(F\)，则因为 \(\sigma\) 是自同构，故

\[\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \qquad \sigma(c\alpha)=\sigma(c)\sigma(\alpha)=c\sigma(\alpha).\]

选取循环伽罗瓦群 \(G\) 的生成元 \(\sigma\)。这样，\(\sigma^p=1\)，于是，\(\sigma\) 的任一特征值 \(\lambda\) 满足关系 \(\lambda^p=1\)，这意味着 \(\lambda\) 是 \(\zeta\) 的幂。由假设，这些特征值属于域 \(F\)。而且，\(p\) 阶线性算子至少有一个不同于 \(1\) 的特征值。这是因为在复数域上 \(\sigma\) 的矩阵是可对角化的（见定理 4.7.1 或推论（10.3.9））。它的特征值是对应于对角矩阵的元素，如果 \(\sigma\) 不是恒等元，则某个对角元一定不同于 \(1\)。

令 \(\beta\) 是 \(\sigma\) 的伴随于特征值 \(\lambda\ne1\) 的特征向量，且设 \(b=\beta^p\)。则

\[\sigma(\beta)=\lambda\beta.\]

因此，

\[\sigma(b)=\sigma(\beta^p)=(\lambda\beta)^p=\beta^p=b.\]

因为 \(\sigma\) 生成 \(G\)，故 \(b\) 属于固定域 \(F\)，而 \(\beta\) 不属于 \(F\)。因为 \([K:F]\) 是素数，故 \(F(\beta)=K\)。

利用如同定理 16.11.1 中的记号，比如说，\(K\) 是 \(p\) 次既约多项式 \(f\) 在 \(F\) 上的分裂域。\(f\) 的根有简单表示式，这个表示式常给出算子 \(\sigma\) 的特征向量。由 \(\sigma\) 定义的 \(f\) 诸根 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_p\) 的置换是循环的，所以，如果我们适当给诸根标号，\(\sigma\) 将是置换 \((12\cdots p)\)。令 \(\lambda\) 是 \(\sigma\) 的特征值，且设

【16.11.3】

\[\beta=\alpha_1+\lambda\alpha_2+\lambda^2\alpha_3+\cdots+\lambda^{p-1}\alpha_p.\]

这样，

\[\sigma(\beta)=\alpha_2+\lambda\alpha_3+\cdots+\lambda^{p-2}\alpha_p+\lambda^{p-1}\alpha_1=\lambda^{-1}\beta.\]

所以，除非 \(\beta\) 恰好是零，否则它是伴随于特征值 \(\lambda^{-1}\) 的特征向量。

【16.11.4】例 库默尔定理引出三次多项式的一个求根公式，该公式于 16 世纪为卡尔达诺（Cardano）与塔尔塔利亚（Tartaglia）所发现。我们这里给出的大概推证不像卡尔达诺给出的那样短，但容易记住，因为它是系统的。假设三次多项式的二次项系数为零，为避免解里出现分母，将其写

\[f(x)=x^3+3px+2q.\]

这样，\(s_1=0\)，\(s_2=3p\)，\(s_3=-2q\)，且判别式为

\[D=-2^23^3(q^2+p^3).\]

令诸根为 \(u_1,u_2,u_3\)，任意排序。设 \(\omega=e^{2\pi i/3}\)，元素

\(z=u_{1}+\omega u_{2}+\omega^{2}u_{3}\) 与 \(z'=u_{1}+\omega^{2}u_{2}+\omega u_{3}\)

是循环置换 \(\sigma=(1\ 2\ 3)\) 的特征向量. 因为 \(1+\omega+\omega^{2}=0\)，故

\[z+z'=s_{1}+z+z'=u_{1}\]

立方 \(z^{3}\) 与 \(z'^{3}\) 为 \(\sigma\) 所固定不动，于是，根据库默尔定理与定理 16.8.5，它们可用 \(p\)，\(q\)，

\(\delta=\sqrt{D}\) 与 \(\omega\) 写出来. 当以这种方式写出立方时，\(u_{1}=z+z'\) 将表示为立方根的和.

做下列计算. 令

\[\begin{aligned}A&=u_{1}^{2}u_{2}+u_{2}^{2}u_{3}+u_{3}^{2}u_{1}\\B&=u_{2}^{2}u_{1}+u_{3}^{2}u_{2}+u_{1}^{2}u_{3}\end{aligned}\]

则

\[\begin{aligned}A-B&=(u_{1}-u_{2})(u_{1}-u_{3})(u_{2}-u_{3})=\delta,\\A+B&=s_{1}s_{2}-3s_{3}=6q\end{aligned}\]

还有，\(u_{1}^{3}+u_{2}^{3}+u_{3}^{3}=u_{1}^{3}+3s_{1}s_{2}+3s_{3}=-6q\).

求解 \(A\)，\(B\)，展开 \(z^{3}\) 与 \(z'^{3}\). 这个计算的结果是卡尔达诺公式:

【16.11.5】

\[u_{1}=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}+\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}}\]

例如，如果 \(f(x)=x^{3}+3x+2\)，则 \(x=\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}-\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}\).

然而，公式是模棱两可的. 在项 \(\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}\) 中，平方根可取两个值，且当平方根被选取时，立方根有 3 个可能的值，这样就给出 6 个值. 另一项也有 6 个值. 但 \(f\) 仅有 3 个根.