第四节 域扩张的同构
对于本章余下的部分，假设域的特征为零，我们将不再提及这个假设。所考虑的域扩张都是有限扩张。我们需要一些新的定义：
- 令 \(K\) 与 \(K'\) 是 \(F\) 的域扩张。\(F\)-同构 \(\sigma:K\to K'\) 的概念是在前面引进的（见（15.2.9））。它是限制在子域 \(F\) 上且为恒等映射的同构。扩域 \(K\) 的 \(F\)-自同构是从 \(K\) 到自身的 \(F\)-同构，\(K\) 的 \(F\)-自同构是域扩张的对称。
- 有限扩张 \(K\) 的 \(F\)-自同构构成一个群，称为 \(K\) 在 \(F\) 上的伽罗瓦群，常记为 \(G(K/F)\)。
- 有限扩张 \(K/F\) 是伽罗瓦扩张，如果它的伽罗瓦群 \(G(K/F)\) 的阶等于扩张次数：
下面我们将看到伽罗瓦群的阶总是整除扩张的次数（16.6.2）。
【16.4.1】例 复数域 \(\mathbb C\) 是实数域 \(\mathbb R\) 的伽罗瓦扩张，伽罗瓦群 \(G(\mathbb C/\mathbb R)\) 是 \(2\) 阶循环群，由复共轭的自同构生成。
对任意二次扩张 \(K/F\) 有类似叙述。二次扩张由附加一个平方根得到，比如说 \(K=F(\alpha)\)，其中 \(\alpha^2=a\) 属于 \(F\)。\(K/F\) 的伽罗瓦群 \(G\) 有阶 \(2\)，且 \(G\) 不同于恒等元的元素互换两个平方根 \(\alpha\) 与 \(-\alpha\)。例如，如果 \(F=\mathbb Q\)，且 \(K=\mathbb Q(\sqrt2)\)，则有 \(K\) 的 \(F\)-自同构
以前我们见到过这个自同构。
【16.4.2】引理 令 \(K\) 与 \(K'\) 是域 \(F\) 的扩张。
（a）令 \(f(x)\) 是系数属于 \(F\) 的多项式，且设 \(\sigma\) 是从 \(K\) 到 \(K'\) 的 \(F\)-同构。如果 \(\alpha\) 是 \(f\) 的属于 \(K\) 的根，则 \(\sigma(\alpha)\) 是 \(f\) 的属于 \(K'\) 的根。
（b）假设 \(K\) 是由一些元素 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 在 \(F\) 上生成的。令 \(\sigma\) 与 \(\sigma'\) 是 \(F\)-同构 \(K\to K'\)。如果对 \(i=1,\cdots,n\)，\(\sigma(\alpha_i)=\sigma'(\alpha_i)\)，则 \(\sigma=\sigma'\)。如果 \(K\) 的 \(F\)-自同构 \(\sigma\) 固定所有生成元不动，则它是恒等映射。
（c）令 \(f\) 是系数属于 \(F\) 的既约多项式，且设 \(\alpha\) 与 \(\alpha'\) 是 \(f\) 的分别属于 \(K\) 与 \(K'\) 的根，则存在唯一的 \(F\)-同构
将 \(\alpha\) 映射为 \(\alpha'\)。如果 \(F(\alpha)=F(\alpha')\)，则 \(\sigma\) 是 \(F\)-自同构。
证明 （a）在上一章已证（15.2.10）。我们略去（b）的证明。在（c）中，\(\sigma\) 的存在在上一章已证（15.2.8），而（b）表明 \(\sigma\) 是唯一的。
【16.4.3】命题
（a）令 \(f\) 是系数属于 \(F\) 的多项式。扩域 \(L/F\) 至多含有 \(f\) 在 \(F\) 上的一个分裂域。
（b）令 \(f\) 是系数属于 \(F\) 的多项式。\(f\) 在 \(F\) 上的任意两个分裂域是同构扩域。
证明 （a）若 \(L\) 含有 \(f\) 的分裂域，则 \(f\) 在 \(L\) 中完全分裂，比如
如果 \(\beta\) 是 \(f\) 在 \(L\) 里的任意根，代入这个乘积里，对某个 \(i\)，有 \(\beta-\alpha_i=0\)。于是，在 \(L\) 里没有其他根，从而含在 \(L\) 里的 \(f\) 的仅有分裂域是 \(F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)。
（b）令 \(K_1\) 与 \(K_2\) 是 \(f\) 在 \(F\) 上的两个分裂域。第一个分裂域 \(K_1\) 是 \(F\) 的有限扩张，因此它有本原元 \(\gamma\)，设 \(g\) 是 \(\gamma\) 在 \(F\) 上的既约多项式。我们选取第二个域 \(K_2\) 的扩张 \(L\)，且 \(g\) 在其中有根 \(\gamma'\)。令 \(K'\) 表示由 \(\gamma'\) 生成的 \(L\) 的子域 \(F(\gamma')\)。存在 \(F\)-同构 \(\varphi:K_1\to K'\) 映射 \(\gamma\) 为 \(\gamma'\)。因为 \(K_1\) 与分裂域 \(K'\) 是 \(F\)-同构的，故它也是 \(f\) 的分裂域。这样，\(K'\) 与 \(K_2\) 是包含在域 \(L\) 里的分裂域，由（a）知它们是相等的。所以，\(\varphi\) 是从 \(K_1\) 到 \(K_2\) 的 \(F\)-同构。