第十节 单位根
在本节中，\(F\) 表示有理数域 \(\mathbb Q\)。在 \(F\) 上由 \(n\) 次单位根 \(\zeta=e^{2\pi i/n}\) 生成的复数子域叫做分圆域。假设 \(n\) 是素整数 \(p\)。\(\zeta=e^{2\pi i/p}\) 在有理数域上的既约多项式是
【16.10.1】
它是次数为 \(p-1\) 的 \(F\) 的伽罗瓦扩张。
【16.10.2】命题
（a）令 \(p\) 是素数，且设 \(\zeta=e^{2\pi i/p}\)，则 \(\mathbb Q(\zeta)\) 在 \(\mathbb Q\) 上的伽罗瓦群是 \(p-1\) 阶循环群。它同构于素域 \(\mathbb F_p\) 的非零元素的乘法群 \(\mathbb F_p^*\)。
（b）对于 \(\mathbb C\) 的任意子域 \(F'\)，\(F'(\zeta)\) 在 \(F'\) 上的伽罗瓦群是循环群。
证明
（a）设 \(F=\mathbb Q\)，令 \(G\) 是 \(F(\zeta)\) 在 \(F\) 上的伽罗瓦群。\(G\) 的元素 \(\sigma\) 由像 \(\sigma(\zeta)\) 确定，而 \(\sigma(\zeta)\) 可以是 \(\zeta\) 的 \(p-1\) 个根里的任一个。称 \(a\) 为使得 \(\sigma(\zeta)=\zeta^a\) 的元素，幂指数 \(a\) 确定为模 \(p\) 的非零剩余类。映 \(\sigma\mapsto a\) 表明这是同态，所以它是同构。\(\mathbb F_p^*\) 是循环的事实是定理 15.7.3 的一部分。
映 \(\zeta\mapsto\zeta^a\) 的元素生成 \(G\) 当且仅当 \(a\) 是模 \(p\) 本原根，它是循环群 \(\mathbb F_p^*\) 的生成元。
（b）伽罗瓦群 \(G'=G(F'(\zeta)/F')\) 的元素也映 \(\zeta\) 到幂 \(\zeta^a\)。上面的证明表明 \(G'\) 同构于循环群 \(\mathbb F_p^*\) 的子群。所以，它也是循环群。
【16.10.3】例 \(p=17\) 与 \(\zeta=e^{i\theta}\)，其中 \(\theta=2\pi/17\)。\(3\) 的剩余是模 \(17\) 本原根，于是，伽罗瓦群 \(G=G(K/F)\) 是 \(16\) 阶循环群。
域链
其中每个扩张 \(L_i/L_{i-1}\) 的次数是 \(2\)。主要定理告诉我们这些是仅有的中间域。
【16.10.4】引理 上面定义的域 \(L_3\) 由 \(\cos\theta\) 生成，它在 \(F\) 上的次数是 \(8\)。
证明 令 \(L'=F(\cos\theta)\)。因为
故 \(\cos\theta\) 属于 \(K=F(\zeta)\)。而且 \(\zeta\) 是系数属于 \(L'\) 的二次方程
的根，所以 \([K:L']\le2\)，从而 \([L':F]\ge8\)。所以，\(L'\) 或是 \(L_3\)，或是 \(K\)。又因为 \(L'\) 是 \(\mathbb R\) 的子域，而 \(K\) 不是，故 \(L'=L_3\)。
【16.10.5】推论 正 \(17\) 边形可用直尺和圆规作图。
证明 链
表明我们可通过一系列添加 \(3\) 个连续平方根到达含有 \(\cos\theta\) 的域 \(L_3\)，又因为 \(L_3\) 是 \(\mathbb R\) 的子域，故这些平方根是实的（见（15.5.10））。
下面的引理对于描述 \(F\) 的二次扩张 \(L_1\) 是有用的：
【16.10.6】引理 令
是具有有理系数 \(c_i\) 的线性组合，其中 \(\zeta=e^{2\pi i/p}\) 且 \(p\) 是素数。如果 \(a\) 是有理数，则 \(c_1=c_2=\cdots=c_{p-1}\)，且 \(a=-c_1\)。
证明 因为 \(\zeta\) 是 \(f\) 的根（16.10.1），故我们可解出 \(1\)，且重新把给定的线性组合写为 \(1,\zeta,\cdots,\zeta^{p-2}\) 的线性组合。由于这些元素是 \(F\) 上的一组基，故这个组合是有理数仅当除常数项外所有系数等于零。如果是这样，则 \(c_i\) 对每个 \(i\) 成立，且 \(a=-c_1\)，如所断言的。
【16.10.7】例 继续 \(p=17\) 的情形。本原根 \(3\) 模 \(17\) 的幂和取自 \(-8\) 和 \(8\) 之间的同余类的代表元按序列出如下：
【16.10.8】
\(K=F(\zeta)\) 的映 \(\zeta\mapsto\zeta^3\) 的自同构 \(\sigma\) 生成伽罗瓦群 \(G\)，且它在对应的顺序中遍历 \(\zeta\) 的幂：
【16.10.9】
\(\zeta\) 的 \(G\)-轨道由不同于 \(1\) 的 \(\zeta\) 的 \(16\) 个幂组成。令 \(H\) 表示 \(8\) 阶子群 \(\langle\sigma^2\rangle\)。\(\zeta\) 的 \(G\)-轨道分裂成两个 \(H\)-轨道，这是通过在幂序列中隔一项取一项得到的（16.10.9）。
令 \(a_1\) 与 \(a_2\) 分别表示这两个轨道上的和。集合 \(\{a_1,a_2\}\) 是 \(G\)-轨道。定理 16.5.2 告诉我们元素 \(a_i\) 在 \(G\) 的固定域 \(F\) 上有次数 \(2\)，且 \(a_i\) 在 \(F\) 上的既约多项式为 \((x-a_1)(x-a_2)\)。要确定这个多项式，我们需要计算两个对称函数 \(s_1(a)=a_1+a_2\) 与 \(s_2(a)=a_1a_2\)。
首先，我们注意到 \(s_1(a)\) 是不同于 \(1\) 的 \(\zeta\) 的所有幂的和，所以，\(s_1(a)=-1\)（16.10.6）。其次，写 \(a_i\) 需要多次写，所以，我们用速记符号。我们写
【16.10.10】
这个记号表示 \(a_1\) 是 \(\zeta\) 的幂的和，而幂指数在第一个括号的数字串里。为计算 \(s_2(a)\)，我们必须把第一个括号里八个数的每一个加到第二个括号里的每个数字上，再模 \(p\)，得到 \(64\) 个指数。这样，\(s_2(a)\) 是对应幂的和。我们不具体这样做，因为 \(a_1a_2\) 是有理数，故不同于 \(1\) 的所有幂一定出现同样多次（16.10.6）。我们注意到当做加法时得不到任何零值，因为剩余和它的负值在同一括号的数字序列里。所以，\(64\) 项一定包含 \(16\) 个非零项里每一项 \(4\) 次，所以 \(s_2(a)=-4\)。\(a_1\) 在 \(F\) 上的既约多项式是
【16.10.11】
它的判别式是 \(17\)，所以，\(L_1=F(\sqrt{17})\)。
【16.10.12】定理 令 \(p\) 是不同于 \(2\) 的素数，且设 \(L\) 是 \(\mathbb Q\) 的包含于分圆域 \(\mathbb Q(\zeta_p)\) 里的唯一二次扩张。如果 \(p\equiv1\pmod4\)，则 \(L=\mathbb Q(\sqrt p)\)；如果 \(p\equiv3\pmod4\)，则 \(L=\mathbb Q(\sqrt{-p})\)。
这似乎是“用例子证明”的情形。情形 \(p\equiv1\pmod4\) 由素数 \(17\) 例证了，而计算对于任一个这样的素数都是类似的。我们通过素数 \(11\) 来说明情形 \(p\equiv3\pmod4\)。\(2\) 的剩余是模 \(11\) 本原根，它的幂把模 \(11\) 的非零剩余类以如下顺序列出：
令 \(\zeta=\zeta_{11}\)，且设 \(\sigma\) 是映 \(\zeta\mapsto\zeta^2\) 的自同构。用像上面那样的速记符号，\(\sigma^2\) 的轨道和是
这里如果 \(k\) 属于 \(a_1\) 的幂指数列，则 \(-k\) 属于 \(a_2\) 幂指数列，所以，零在 \(a_1a_2\) 的幂指数列的 \(25\) 项里出现 \(5\) 次，这为 \(a_1a_2\) 的值贡献数 \(5\)。因为 \(a_1a_2\) 属于 \(\mathbb Q\)，故 \(20\) 个余项一定由 \(10\) 个模 \(11\) 非零同余类中每项重复两次所构成，这些项的和是 \(-2\)，所以，\(a_1a_2=3\)。\(a_1\) 的既约多项式是
它的判别式为 \(-11\)。
定理 16.10.12 是代数数论漂亮定理的一个特殊情形。
【16.10.13】定理（Kronecker-Weber 定理） 每个有理数域 \(\mathbb Q\) 上伽罗瓦群是阿贝尔的伽罗瓦扩张包含于某个分圆域 \(\mathbb Q(\zeta_n)\) 中。