第七节 主要定理

伽罗瓦理论最重要的部分之一是中间域的确定。伽罗瓦理论的主要定理断言，当 \(K/F\) 是伽罗瓦扩张时，中间域和伽罗瓦群的子群是一一对应的。这个事实的重要性不是马上就看出来的；我们将在使用中理解它。

【16.7.1】定理（主要定理） 令 \(K\) 是域 \(F\) 的伽罗瓦扩张，且设 \(G\) 是它的伽罗瓦群，则在 \(G\) 的子群与中间域之间存在一一对应：

\[\{\text{子群}\}\longleftrightarrow\{\text{中间域}\}.\]

这个对应把子群 \(H\) 与它的固定域以及中间域 \(L\) 与 \(K\) 在 \(L\) 上的伽罗瓦群结合起来，映射

\[H\longmapsto K^H\]

与

\[L\longmapsto G(K/L)\]

是逆函数。

证明 我们必须证明两个映射任意顺序的合成都是恒等映射，这样证明工作就完成了。令 \(H\) 是 \(G\) 的子群，且设 \(L\) 是它的固定域。固定域定理告诉我们 \(G(K/L)=H\)。另一方面，令 \(L\) 是中间域，且设 \(H\) 是 \(K\) 在 \(L\) 上的伽罗瓦群。这样，\(K\) 是 \(L\) 的伽罗瓦扩张（推论 16.6.5（b））。定理 16.6.4 告诉我们 \(H\) 的固定域是 \(L\)。

【16.7.2】推论

（a）由主要定理给出的对应是反向包含：如果 \(L\) 与 \(L'\) 是中间域，且如果 \(H\) 与 \(H'\) 是对应子群，则

\[L\subset L'\quad\Longleftrightarrow\quad H\supset H'.\]

（b）对应于域 \(F\) 的子群是整个群 \(G(K/F)\)，而对应于 \(K\) 的子群是平凡子群 \((1)\)。

（c）如果 \(L\) 对应于 \(H\)，则

\[[K:L]=|H|, \qquad [L:F]=[G:H].\]

在（c）中，第一个等式可由 \(K\) 是 \(L\) 的伽罗瓦扩张与 \(H=G(K/L)\) 的事实得到。这样就得到了第二个等式，这是因为

\[|H|[G:H]=|G|=[K:F]=[K:L][L:F].\]

【16.7.3】推论 有限域扩张 \(K/F\) 有有限多个中间域 \(F\subset L\subset K\)。

证明 当 \(K/F\) 是伽罗瓦扩张时，这可由主要定理得到，这是因为有限群有有限多个子群。又因为可把任意有限扩张嵌入伽罗瓦扩张，故对任意有限扩张这都是成立的。

【16.7.4】例 令 \(F\) 是有理数域，且设 \(\alpha=\sqrt3\) 与 \(\beta=\sqrt5\)，所以，\(\alpha\beta=\sqrt{15}\)。多项式 \((x^2-3)(x^2-5)\) 的分裂域

\[K=F(\alpha,\beta)\]

是 \(F\) 的 \(4\) 次伽罗瓦扩张，它的伽罗瓦群 \(G\) 的阶为 \(4\)。于是，它或是克莱因四元群，或是循环群。容易求出 \(F\) 上三个 \(2\) 次中间域，亦即

\[F(\alpha),\quad F(\beta),\quad F(\alpha\beta).\]

这三个中间域对应于 \(G\) 的三个真子群。所以，\(G\) 是克莱因四元群，它有三个 \(2\) 阶元，从而有三个 \(2\) 阶子群。\(4\) 阶循环群仅有一个 \(2\) 阶子群。

\(2\) 阶子群是 \(G\) 仅有的真子群，所以，主要定理告诉我们除我们发现的三个中间域外，没有别的真中间域。因此，\(K\) 的元素

\[y=a+b\alpha+c\beta+d\alpha\beta\qquad(a,b,c,d\in F)\]

在 \(F\) 上次数为 \(4\)，除非它在三个真中间域之一里。这种情形仅当系数 \(b,c,d\) 中至少有两个为零时出现。

假设给定域链 \(F\subset L\subset K\)，且 \(K\) 是 \(F\) 的伽罗瓦扩张。这样，\(K\) 也是 \(L\) 的伽罗瓦扩张。然而，\(L\) 不一定是 \(F\) 的伽罗瓦扩张。为了得到完整描述，我们证明作为 \(F\) 的伽罗瓦扩张的中间域 \(L\) 对应于 \(G\) 的正规子群。

【16.7.5】定理 令 \(K/F\) 是带有伽罗瓦群 \(G\) 的伽罗瓦扩张，且设 \(L\) 是 \(G\) 的子群 \(H\) 的固定域。扩张 \(L/F\) 是伽罗瓦扩张当且仅当 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群。如果是这样，则伽罗瓦群 \(G(L/F)\) 同构于商群 \(G/H\)。

证明 令 \(\varepsilon_1\) 是扩张 \(L/F\) 的本原元，且设 \(g\) 是 \(\varepsilon_1\) 在 \(F\) 上的既约多项式。这个多项式在分裂域 \(K\) 中完全分裂；设它的根为 \(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r\)。我们用下列事实进行证明：

• \(L/F\) 是伽罗瓦扩张当且仅当它是分裂域，这种情形当所有根 \(\varepsilon_i\) 属于 \(L\) 时发生。
• 如果根 \(\varepsilon_i\) 属于 \(L\)，则 \(L=F(\varepsilon_i)\)。这是因为 \(\varepsilon_i\) 与 \(\varepsilon_1\) 在 \(F\) 上有相同次数且 \(L=F(\varepsilon_1)\)。
• \(G\) 的元素在 \(L\) 上是恒等的当且仅当它固定 \(\varepsilon_1\) 不动，所以，\(\varepsilon_1\) 的稳定子等于 \(H\)。
• \(G\) 在集合 \(\{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r\}\) 上的作用是可迁的：对任意 \(i=1,\cdots,r\)，存在 \(G\) 的元素 \(\sigma\) 使得 \(\sigma(\varepsilon_1)=\varepsilon_i\)（16.4.2）（c）。

令 \(\sigma\) 是 \(G\) 的元素，比如说 \(\sigma(\varepsilon_1)=\varepsilon_i\)。这样，\(F(\varepsilon_i)=L\) 当且仅当 \(\varepsilon_i\) 属于 \(L\)，且如果是这样，则 \(\varepsilon_i\) 的稳定子等于 \(H\)。另一方面，\(\sigma(\varepsilon_1)\) 的稳定子是共轭群 \(\sigma H\sigma^{-1}\)。所以，\(L/F\) 是伽罗瓦扩张当且仅当 \(\sigma H\sigma^{-1}=H\) 对所有 \(\sigma\) 成立，亦即当且仅当 \(H\) 是正规子群。

假设 \(L\) 是 \(F\) 的伽罗瓦扩张。这样，诸根 \(\varepsilon_i\) 属于 \(L\)。伽罗瓦群 \(G\) 的元素 \(\sigma\) 映 \(\varepsilon_1\) 到另一个根 \(\varepsilon_i\)，所以，它映 \(L=F(\varepsilon_1)\) 到 \(F(\varepsilon_i)=L\)。因此，限制 \(\sigma\) 到 \(L\) 定义了 \(L\) 的一个 \(F\)-自同构。这个限制给出同态

\[\varphi:G\to G(L/F).\]

\(\varphi\) 的核是限制到 \(L\) 上的恒等元的 \(\sigma\) 的集合，它是 \(H\)。而且

\[|G/H|=[G:H]=|G(L/F)|.\]

第一同构定理告诉我们 \(G/H\) 同构于 \(G(L/F)\)。

在下一节里，我们考察伽罗瓦理论应用的最重要情形。