第九节 四次方程

令 \(f(x)\) 是系数属于 \(F\) 的既约 \(4\) 次多项式，且设 \(f\) 在 \(F\) 上的分裂域 \(K\) 里的根为 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)。由它在诸根上的作用，伽罗瓦群 \(G=G(K/F)\) 可表示为 \(S_4\) 的一个可迁子群（16.6.6）。可迁子群容易确定，因为 \(S_4\) 同构于八面体群，该八面体群是一个旋转群。任意子群也都是旋转群，所以，它将是定理 6.12.1 列出的群之一。\(S_4\) 的可迁子群为

【16.9.1】

\[S_4, \quad A_4, \quad D_4, \quad C_4, \quad D_2.\]

有 \(3\) 个共轭子群同构于 \(D_4\)，而有 \(3\) 个共轭子群同构于 \(C_4\)。子群 \(D_2\) 是克莱因四元群，由恒等元与不相交对换的 \(3\) 个积组成。它是 \(S_4\) 的正规子群，以前我们见过这个群（2.5.15）。（\(S_4\) 的一些其他子群同构于 \(D_2\)，但它们不是可迁的。）注意到 \(G\) 的阶等于次数 \([K:F]\)，除最后两个外，它区分所有的群。不幸的是，不容易确定次数。

我们从容易具体分析的 \(4\) 次多项式开始。

【16.9.2】例 这里 \(F\) 表示有理数域 \(\mathbb Q\)。

（a）令 \(\alpha\) 是“嵌套”平方根 \(\alpha=\sqrt{4+\sqrt5}\)。为确定 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的既约多项式，我们猜测它的根可能是 \(\pm\alpha\) 与 \(\pm\alpha'\)，其中 $\alpha'=\sqrt{4- \sqrt5}\(。有了这个猜测，我们展开多项式。不难证明这个多项式在 \)F\( 上是既约的。我们将证明留作练习。所以，它是 \)\alpha\( 在 \)F\( 上的既约多项式。令 \)K\( 是 \)f$ 的分裂域。这样，

\[F\subset F(\alpha)\subset F(\alpha,\alpha'), \qquad F(\alpha,\alpha')=K.\]

因为 \(f\) 是既约的，故 \([F(\alpha):F]=4\)，又因为 \(\sqrt5\) 属于 \(F(\alpha)\)，故 $\alpha'=\sqrt{4- \sqrt5}\( 在 \)F(\alpha)\( 上的次数至多为 \)2\(。我们还不知道 \)\alpha'\( 是否属于域 \)F(\alpha)\(。在任一情形里，\)[K:F]\( 是 \)4\( 或 \)8\(。\)K/F\( 的伽罗瓦群 \)G\( 也有阶 \)4\( 或 \)8\(，所以，它是 \)D_4,C_4\( 或 \)D_2$。

\(D_4\) 的哪个共轭子群可作用依赖于如何对诸根排序，让我们这样对它们排序：

【16.9.3】

\[\alpha_1=\alpha,\quad \alpha_2=\alpha',\quad \alpha_3=-\alpha,\quad \alpha_4=-\alpha'.\]

在这样的排序下，映 \(\alpha_1\mapsto\alpha_2\) 的自同构也映 \(\alpha_3\mapsto\alpha_4\)。具有这个性质的置换构成由

\[\rho=(1234)\]

生成的二面体群 \(D_4\)。我们的伽罗瓦群是这个群的子群。它可以是整个群 \(D_4\)，即由 \(\rho\) 生成的循环群 \(C_4\)，或由 \(\rho^2\) 与某个反射生成的二面体群 \(D_2\)。

注意必须小心：这个群 \(D_4\) 的每个元素置换诸根，但我们还不知道这些置换里的哪一个来自 \(K\) 的自同构。不是来自 \(K\) 的自同构的置换没有为我们提供关于 \(K\) 的任何信息。

（b）令 \(\alpha=\sqrt{2+\sqrt2}\)。\(\alpha\) 在 \(F\) 上的既约多项式是

\[x^4-4x^2+2.\]

同以前一样，它的根是 \(\alpha,\alpha',-\alpha,-\alpha'\)，其中 $\alpha'=\sqrt{2- \sqrt2}\(。这里 \)\alpha\alpha'=\sqrt2\(，属于域 \)F(\alpha)\(。所以，\)\alpha'\( 也属于这个域。次数 \)[K:F]\( 为 \)4\(，且 \)G\( 或为 \)C_4\(，或为 \)D_2\(。因为 \)G\( 在诸根上的作用是可迁的，故存在 \)G\( 的元素映 \)\alpha\mapsto\alpha'\(。此时伽罗瓦群是循环群 \)C_4$。

（c）令 \(\alpha=\sqrt{4+\sqrt7}\)。它在 \(F\) 上的既约多项式是

\[x^4-8x^2+9.\]

这里 \(\alpha\alpha'=3\)。而且，\(\alpha'\) 属于域 \(F(\alpha)\)，且次数 \([K:F]\) 为 \(4\)。如果自同构 \(\sigma\) 映 \(\alpha\mapsto\alpha'\)，则因为 \(\alpha\alpha'=3\)，故它一定映 \(\alpha'\mapsto\alpha\)。伽罗瓦群是 \(D_2\)。

可用这种方法分析形如 \(x^4+bx^2+c\) 的任一个 \(4\) 次多项式。

分析一般多项式

【16.9.4】

\[f(x)=x^4-a_1x^3+a_2x^2-a_3x+a_4\]

是比较困难的，因为它的根 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_4\) 很难用通常方法具体写出来。主要方法是寻找由 \(S_4\) 里的一些置换（不是全部置换）所固定不动的根的表示式。判别式 \(D\) 的平方根首先是这样的表示式。因为诸根是不同的，故不为零。如同三次方程一样（16.8.4），根的置换使它乘上一个置换的符号。偶置换固定它不动，而奇置换不固定它不动。

【16.9.5】命题 令 \(G\) 是既约 \(4\) 次多项式 \(f\) 的伽罗瓦群，\(f\) 的判别式 \(D\) 是 \(F\) 里的一个平方数当且仅当 \(G\) 不含有奇置换。所以，

• 如果 \(D\) 是 \(F\) 里的一个平方数，则 \(G\) 是 \(A_4\) 或 \(D_2\)。
• 如果 \(D\) 不是 \(F\) 里的一个平方数，则 \(G\) 是 \(S_4,D_4\) 或 \(C_4\)。

证明 \(D\) 是 \(F\) 里的一个平方数当且仅当判别式平方根属于 \(F\)，当 \(G\) 的每个元素固定它不动时这种情形发生。固定它不动的置换是偶置换。后面的叙述可通过查看 \(S_4\) 的可迁子群列表（16.9.1）得证。

对任意次数多项式的分裂域有类似叙述。

【16.9.6】命题 令 \(K\) 是 \(F[x]\) 里 \(n\) 次既约多项式 \(f\) 在 \(F\) 上的分裂域，且设 \(D\) 是 \(f\) 的判别式。伽罗瓦群 \(G(K/F)\) 是交错群 \(A_n\) 的子群当且仅当 \(D\) 是 \(F\) 里的一个平方数。

拉格朗日发现诸根 \(\alpha_i\) 的另一个有用的表示式，它是相对于 \(4\) 次多项式的一个特殊表示式。令

【16.9.7】

\[\beta_1=\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4, \quad \beta_2=\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_4, \quad \beta_3=\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3,\]

且设

\[g(x)=(x-\beta_1)(x-\beta_2)(x-\beta_3).\]

这个多项式称为 \(f\) 的三次预解式。诸根 \(\alpha_i\) 的每个置换置换元素 \(\beta_i\)，所以 \(g\) 的系数是根里的对称函数，它们是 \(F\) 的元素，需要时可以计算出来。

幸运的是，既约 \(4\) 次多项式的根互不相同的事实蕴含着诸元素 \(\beta_i\) 互不相同。例如，

\[\beta_1-\beta_2 =\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4-\alpha_1\alpha_3-\alpha_2\alpha_4 =(\alpha_1-\alpha_4)(\alpha_2-\alpha_3).\]

因为诸 \(\alpha_i\) 是不同的，故 \(\beta_1-\beta_2\) 不为零。多项式 \(f\) 与 \(g\) 的判别式实际上是相等的。

三次预解式在 \(F\) 中是否有根给出了有关伽罗瓦群 \(G\) 的许多信息。

【16.9.8】命题 令 \(G\) 是既约 \(4\) 次多项式 \(f\) 在 \(F\) 上的伽罗瓦群，且设 \(g\) 是 \(f\) 的三次预解式。则 \(g\) 是既约的当且仅当 \(G\) 的阶为 \(3\) 整除。而且，

• 如果 \(g\) 在 \(F\) 里完全分裂，则 \(G=D_2\)。
• 如果 \(g\) 在 \(F\) 里有一个根，则 \(G=D_4\) 或 \(C_4\)。
• 如果 \(g\) 在 \(F\) 上是既约的，则 \(G=S_4\) 或 \(A_4\)。

证明 命题的证明是简单的，但三个元素 \(\beta_i\) 是不同的事实容易忽略的关键点。令 \(B\) 表示集合 \(\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}\)。它的阶为 \(3\)。对称群 \(S_4\) 在诸根 \(\alpha_i\) 上的作用定义了在 \(B\) 上的可迁作用，且伴随置换表示是同态 \(\varphi:S_4\to S_3\)，这我们在前面已经见过（2.5.13），它的核是子群 \(D_2\)。如果 \(g\) 在 \(F\) 里完全分裂，则伽罗瓦群平凡地作用在 \(B\) 上，所以，\(G=D_2\)。

如果 \(g\) 在 \(F\) 上是既约的，则 \(G\) 可迁地作用在 \(B\) 上（16.6.6），于是，它的阶为 \(3\) 整除。反过来，如果 \(|G|\) 为 \(3\) 所整除，则 \(G\) 含有 \(3\) 阶元素，比如说 \(\rho\)。因为 \(\varphi\) 的核是 \(D_2\)，故 \(\rho\) 不是平凡地作用在 \(B\) 上。它循环地置换三个元素，所以，\(G\) 可迁地作用在 \(B\) 上，且 \(g\) 是既约的。命题的剩下部分可通过回看列表（16.9.1）得证。

因此，多项式 \(D\)（这里 \(D\) 是判别式）与三次预解式 \(g(x)\) 就差不多足以描述伽罗瓦群了，结果总结在下表中：

【16.9.9】

	\(D\) 是平方数	\(D\) 非平方数
\(g\) 可约	\(G=D_2\)	\(G=D_4\) 或 \(C_4\)
\(g\) 既约	\(G=A_4\)	\(G=S_4\)

不幸的是，没有根的简单表示式去除余下的歧义性（见练习 M.11）。

注意 命题 16.9.8 的证明根据诸根 \(\alpha_i\) 的置换利用特别公式（16.9.7）定义集合 \(B\) 的置换。如果诸根的置换来自 \(F\)-自同构，那么它的置换有意义；如果置换不是来自 \(F\)-自同构，则用这个公式所定义的 \(B\) 的置换对域没有意义。

例如，令 \(K\) 是多项式 \(x^4-2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域。从 1 到 4 把诸根排序为 \(\alpha_1=\alpha\)，\(\alpha_2=i\alpha\)，\(\alpha_3=-\alpha\)，\(\alpha_4=-i\alpha\)，其中 \(\alpha\) 是 2 的 4 次正实根。这样，\(\beta_1=2i\sqrt{2}\)，\(\beta_2=0\)，\(\beta_3=-2i\sqrt{2}\)。对换 \(\varepsilon=(1\;2)\) 不是伽罗瓦群的元素。当我们使用公式 16.9.7 定义 \(\varepsilon\) 如何置换集合 \(B\) 时，所得的作用使 \(\beta_2\) 与 \(\beta_3\) 互换。因为 \(\beta_2=0\) 且 \(\beta_3 \neq 0\)，所以这个置换在代数上没有意义。