直　和

向量集的无关和张成的概念对于子空间是相似的。如果 $W_1,\cdots,W_k$ 是向量空间 $V$ 的子空间，那么向量 $v$ 的集合可以写为和

【3.6.1】

\[v=w_1+\cdots+w_k\]

其中 $w_i$ 是 $W_i$ 的向量，所有这样向量 $v\in V$ 的集合称为子空间的和或它们的张成，记为

【3.6.2】

\[W_1+\cdots+W_k=\{v\in V\mid v=w_1+\cdots+w_k,\text{ 其中 }w_i\in W_i\}\]

子空间的和是含有所有子空间 $W_1,\cdots,W_k$ 的最小子空间，类似于向量集合的张成。

子空间 $W_1,\cdots,W_k$ 称为无关的，如果除了对所有 $i$ 有 $w_i=0$ 的平凡和外，其余的和 $w_1+\cdots+w_k(\text{其中 }w_i\in W_i)$ 皆不为零。换言之，空间是无关的，如果

【3.6.3】

\[w_1+\cdots+w_k=0(\text{其中 }w_i\in W_i)\text{ 蕴含着对所有 }i\text{ 有 }w_i=0。\]

注意　假设 $v_1,\cdots,v_k$ 是 $V$ 的元素，令 $W_i$ 是向量 $v_i$ 的张成，那么，子空间 $W_1,\cdots,W_k$ 是无关的当且仅当集合 $(v_1,\cdots,v_k)$ 是无关的。

如果比较(3.4.8)与(3.6.3)，这是显然的。

用子空间叙述更为整洁，因为标量系数不需要放在(3.6.3)里 $w_i$ 的前面。由于每个子空间 $W_i$ 在标量乘法下封闭，因此标量倍数 $cw_i$ 是 $W_i$ 的另一元素。

我们略去下一个命题的证明。

【3.6.4】命题　令 $W_1,\cdots,W_k$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，设 $B_i$ 是 $W_i$ 的一个基。

(a) 下列条件是等价的：

诸子空间 $W_i$ 是无关的，而且和 $W_1+\cdots+W_k$ 等于 $V$。
把诸基附加在一起所得集合 $B=(B_1,\cdots,B_k)$ 是 $V$ 的一个基。

(b) $\dim(W_1+\cdots+W_k)\leq \dim W_1+\cdots+\dim W_k$，等号成立当且仅当诸子空间无关。

如果命题 3.6.4(a)的条件得到满足，就说 $V$ 是子空间 $W_1,\cdots,W_k$ 的直和，记为 $V=W_1\oplus\cdots\oplus W_k$：

【3.6.5】

\[V=W_1\oplus\cdots\oplus W_k,\text{ 如果 }V=W_1+\cdots+W_k,\text{ 并且 }W_1,\cdots,W_k\text{ 是无关的}\]

如果 $V$ 是直和，则每个向量 $v\in V$ 恰好可以以一种方式写为(3.6.1)的形式。

【3.6.6】命题　令 $W_1$ 与 $W_2$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间。

(a) $\dim W_1+\dim W_2=\dim(W_1\cap W_2)+\dim(W_1+W_2)$。

(b) $W_1$ 与 $W_2$ 是无关的当且仅当 $W_1\cap W_2=\{0\}$。

(d) 如果 $W_1+W_2=V$，则存在 $W_2$ 的子空间 $W_2'$，满足 $W_1\oplus W_2'=V$。

证明　证明关键部分(a)：选择 $W_1\cap W_2$ 的一个基 $U=(u_1,\cdots,u_k)$，把它扩张为 $W_1$ 的一个基 $(U,V)=(u_1,\cdots,u_k;v_1,\cdots,v_m)$。也把 $U$ 扩张为 $W_2$ 的一个基 $(U,W)=(u_1,\cdots,u_k;w_1,\cdots,w_n)$。于是，$\dim(W_1\cap W_2)=k$，$\dim W_1=k+m$ 与 $\dim W_2=k+n$。如果证明 $k+m+n$ 个元素的集合 $(U,V,W)=(u_1,\cdots,u_k,v_1,\cdots,v_m,w_1,\cdots,w_n)$ 是 $W_1+W_2$ 的基，命题就成立。

必须证明 $(U,V,W)$ 是无关的，且张成 $W_1+W_2$。$W_1+W_2$ 的元素 $v$ 有形式 $w'+w''$，其中 $w'\in W_1$，$w''\in W_2$。用 $W_1$ 的基 $(U,V)$ 来写 $w'$，比如说，$w'=UX+VY=u_1x_1+\cdots+u_kx_k+v_1y_1+\cdots+v_my_m$。也把 $w''$ 写成 $W_2$ 的基 $(U,W)$ 的组合 $UX'+WZ$。因此，$v=w'+w''=U(X+X')+VY+WZ$。

其次，假设已知元素 $(U,V,W)$ 之间的线性关系 $UX+VY+WZ=0$。记这个关系为 $UX+VY=-WZ$。这个方程的左边属于 $W_1$，而右边属于 $W_2$。所以，$-WZ$ 属于 $W_1\cap W_2$，从而它是基 $U$ 的线性组合 $UX'$。这就给出方程 $UX'+WZ=0$。由于 $(U,W)$ 是 $W_2$ 的基，它是无关的，所以，$X'$ 和 $Z$ 是零。这样，已知关系简化为 $UX+VY=0$。但 $(U,V)$ 也是无关集合。于是，$X$ 与 $Y$ 是零，关系是平凡的。■

直和的直观理解

当

\[V=W_1\oplus W_2\]

时，每个向量 $v\in V$ 都可以唯一地写成

\[v=w_1+w_2,\qquad w_1\in W_1,\quad w_2\in W_2。\]

直和的关键是：

\[W_1\cap W_2=\{0\}\]

也就是说，两个子空间除了零向量以外没有公共方向。因此，一个向量不会有两种不同的拆法。

$直和示意图$

如果进一步有 $U \perp V$，那么这是正交直和，也可以写作：

\[W = U \oplus^{\perp} V\]

也就是说：直和强调“唯一分解”，正交直和额外强调“两个分量互相垂直”。

直 和 ​

直和的直观理解 ​

直　和

直和的直观理解