第三节　向量空间

有了一些例子和域的概念后，我们给出向量空间的定义。

【3.3.1】定义　域 \(F\) 上的向量空间 \(V\) 是满足下面合成法则的集合：

(a) 加法：\(V\times V\to V\)，记为 \(v,w\mapsto v+w\)，其中 \(v,w\in V\)，

(b) 标量乘法：\(F\times V\to V\)，记为 \(c,v\mapsto cv\)，其中 \(c\in F\)，\(v\in V\)。

这两个合成法则满足下列公理：

• 加法使 \(V\) 成为交换群 \(V^+\)，并带有恒等元，记为 \(0\)。
• \(1v=v\)，对所有 \(v\in V\) 成立。
• 结合律：\((ab)v=a(bv)\)，对所有 \(a,b\in F\) 和 \(v\in V\) 成立。
• 分配律：\((a+b)v=av+bv\) 和 \(a(v+w)=av+aw\)，对所有 \(a,b\in F\) 和 \(v,w\in V\) 成立。

元素在域 \(F\) 中的列向量的加法和标量乘法如(3.1.1)所定义，这样的列向量空间 \(F^n\) 构成域 \(F\) 上的向量空间。

一些实向量空间例子（\(R\) 上向量空间）如下：

【3.3.2】例

(a) 令 \(V=C\) 是复数集，忘掉两个复数的乘法，仅记住加法 \(\alpha+\beta\) 和实数 \(r\) 与复数 \(\alpha\) 的乘法 \(r\alpha\)。这些运算使 \(V\) 成为一个实向量空间。

(b) 实多项式 \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\) 的集合是一个实向量空间，多项式的加法和实数与多项式的乘法按合成法则进行。

(c) 实直线上的连续实值函数的集合是一个实向量空间，函数的加法 \(f+g\) 和实数与函数的乘法按合成法则进行。

(d) 微分方程 \(\dfrac{d^2y}{dt^2}=-y\) 的解集合是一个实向量空间。■

当我们视其为向量空间时，每个例子都有比看上去更复杂的结构。这是很典型的。任一个特例肯定有区别于其他例子的额外特征，但这不是缺点。相反地，抽象方法的好处在于公理的结果能够应用到许多不同的情形。

与群的子群和同构类似的两个重要概念是子空间和同构。

与 \(R^n\) 的子空间一样，域 \(F\) 上向量空间 \(V\) 的子空间 \(W\) 是在加法和标量乘法运算下封闭的非空子集。子空间 \(W\) 称为 \(V\) 的一个真子空间，如果它既不是整个空间 \(V\)，也不是零空间 \(\{0\}\)。例如，微分方程(3.3.2)(d)的解空间是实直线上所有连续函数空间的真子空间。

【3.3.3】命题　令 \(V=F^2\) 是元素在域 \(F\) 中的列向量组成的向量空间。\(V\) 的每个真子空间 \(W\) 是由单个非零向量 \(w\) 的标量倍数 \(\{cw\}\) 组成的。不同的真子空间仅有零向量作为公共向量。

命题 3.1.4 的证明搬过来即可。

【3.3.4】例　令 \(F\) 是素域 \(F_p\)。空间 \(F^2\) 含有 \(p^2\) 个向量，其中有 \(p^2-1\) 个非零向量。因为有 \(p-1\) 个非零标量，由非零向量 \(w\) 张成的子空间 \(W=\{cw\}\) 将含有 \(p-1\) 个非零向量。所以，\(F^2\) 含有 \((p^2-1)/(p-1)=p+1\) 个真子空间。■

在同一个域 \(F\) 上，一个向量空间 \(V\) 到另一个向量空间 \(V'\) 的同构 \(\varphi\) 是一个与合成法则相容的一一映射 \(\varphi:V\to V'\)，即对所有 \(v,w\in V\) 及所有 \(c\in F\) 满足条件

【3.3.5】

\[\varphi(v+w)=\varphi(v)+\varphi(w)\quad \text{和}\quad \varphi(cv)=c\varphi(v)\]

的——映射。

【3.3.6】例

(a) 令 \(F^{n\times n}\) 表示域 \(F\) 上的 \(n\times n\) 矩阵的集合，该集合是域 \(F\) 上的向量空间，它同构于长度为 \(n^2\) 的列向量的空间。

(b) 如果同(3.3.2)(a)一样，把复数集看作实向量空间，使得 \((a,b)'\mapsto a+bi\) 的映射 \(\varphi:R^2\to C\) 是一个同构。■