数据流中的第 K 大元素

295. Find Median from Data Stream

这是一道经典的数据结构运用题。

在数据流中，数据会不断涌入结构中，那么也就面临着需要多次动态调整以获得中位数。 因此实现的数据结构需要既需要快速找到中位数，也需要做到快速调整。

首先能想到就是二叉搜索树，在平衡状态下，树顶必定是中间数，然后再根据长度的奇偶性决定是否取两个数。

此方法效率高，但是手动编写较费时费力。

对顶堆解法

根据只需获得中间数的想法，可以将数据分为左右两边，一边以最大堆的形式实现，可以快速获得左侧最大数， 另一边则以最小堆的形式实现。其中需要注意的一点就是左右侧数据的长度差不能超过1。 这种实现方式的效率与AVL平衡二叉搜索树的效率相近，但编写更快。

具体的，我们可以使用两个优先队列（堆）来维护整个数据流数据，令维护数据流左半边数据的优先队列（堆）为 l，维护数据流右半边数据的优先队列（堆）为r。

显然，为了可以在 \(O(1)\)的复杂度内取得当前中位数，我们应当令 l 为大根堆，r 为小根堆，并人为固定l和 r之前存在如下的大小关系：

当数据流元素数量为偶数：l和 r 大小相同，此时动态中位数为两者堆顶元素的平均值；

当数据流元素数量为奇数：l 比 r 多一，此时动态中位数为 l 的堆顶原数。

为了满足上述说的奇偶性堆大小关系，在进行 addNum 时，我们应当分情况处理：

1. 插入前两者大小相同，说明插入前数据流元素个数为偶数，插入后变为奇数。我们期望操作完达到「l的数量为 r 多一，同时双堆维持有序」，进一步分情况讨论：

• 如果 r 为空，说明当前插入的是首个元素，直接添加到 l即可；
• 如果 r不为空，且num <= r.peek()，说明 num 的插入位置不会在后半部分（不会在 r 中），直接加到 l即可；
• 如果r 不为空，且 num > r.peek()，说明 num 的插入位置在后半部分，此时将 r 的堆顶元素放到l中，再把 num 放到 r（相当于从 r 中置换一位出来放到l中）。

2. 插入前两者大小不同，说明前数据流元素个数为奇数，插入后变为偶数。我们期望操作完达到「l和 r 数量相等，同时双堆维持有序」，进一步分情况讨论（此时 l 必然比 r 元素多一）：

• 如果 num >= l.peek()，说明 num 的插入位置不会在前半部分（不会在 l 中），直接添加到 r 即可。
• 如果 num < l.peek()，说明 num 的插入位置在前半部分，此时将 l 的堆顶元素放到 r 中，再把 num 放入 l 中（相等于从l 中替换一位出来当到 r中）。

class MedianFinder {
public:
    priority_queue<int, vector<int>, less<int>> queMin;//大顶堆
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> queMax;

    MedianFinder() {}

    void addNum(int num) {
        if (queMin.empty() || num <= queMin.top()) { 
            //注意这里是queMin.top()，因为可能queMax()是空的，所以用大顶堆比较一样的！！！
            queMin.push(num);
            if (queMax.size() + 1 < queMin.size()) {
                queMax.push(queMin.top());
                queMin.pop();
            }
        } else {
            queMax.push(num);
            if (queMax.size() > queMin.size()) {
                queMin.push(queMax.top());
                queMax.pop();
            }
        }
    }

    double findMedian() {
        if (queMin.size() > queMax.size()) {
            return queMin.top();
        }
        return (queMin.top() + queMax.top()) / 2.0;
    }
};

Follow up:

If all integer numbers from the stream are in the range [0, 100], how would you optimize your solution?

可以使用建立长度为 101 的桶，每个桶分别统计每个数的出现次数，同时记录数据流中总的元素数量，每次查找中位数时，先计算出中位数是第几位，从前往后扫描所有的桶得到答案。

这种做法相比于对顶堆做法，计算量上没有优势，更多的是空间上的优化。

对顶堆解法两个操作中耗时操作复杂度为 \(O(\log{n})\)，\(\log\)操作常数不会超过 3，在极限数据 \(10^7\)情况下计算量仍然低于耗时操作复杂度为 \(O(C)\)（C 固定为 101）桶计数解法。

If 99% of all integer numbers from the stream are in the range [0, 100], how would you optimize your solution?

和上一问解法类似，对于 1% 采用哨兵机制进行解决即可，在常规的最小桶和最大桶两侧分别维护一个有序序列，即建立一个代表负无穷和正无穷的桶。

上述两个进阶问题的代码如下，但注意由于真实样例的数据分布不是进阶所描述的那样（不是绝大多数都在 [0,100]范围内），所以会 TLE。

class MedianFinder {

    TreeMap<Integer, Integer> head = new TreeMap<>(), tail = new TreeMap<>();
    int[] arr = new int[101];
    int a, b, c;

    public void addNum(int num) {
        if (num >= 0 && num <= 100) {
            arr[num]++;
            b++;
        } else if (num < 0) {
            head.put(num, head.getOrDefault(num, 0) + 1);
            a++;
        } else if (num > 100) {
            tail.put(num, tail.getOrDefault(num, 0) + 1);
            c++;
        }
    }
    
    public double findMedian() {
        int size = a + b + c;
        if (size % 2 == 0) return (find(size / 2) + find(size / 2 + 1)) / 2.0;
        return find(size / 2 + 1);
    }

    int find(int n) {
        if (n <= a) {
            for (int num : head.keySet()) {
                n -= head.get(num);
                if (n <= 0) return num; 
            }
        } else if (n <= a + b) {
            n -= a;
            for (int i = 0; i <= 100; i++) {
                n -= arr[i];
                if (n <= 0) return i;
            }
        } else {
            n -= a + b;
            for (int num : tail.keySet()) {
                n -= tail.get(num);
                if (n <= 0) return num;
            }
        }
        return -1; // never
    }
}